[论文解读] Geometry of coisotropic submanifolds in symplectic and Kähler manifolds

Yong‐Geun Oh|ArXiv.org|Oct 31, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文将爱因斯坦-凯勒流形中拉格朗日子流形的关键几何性质推广至共辛子流形，引入了叶状平均曲率形式与共辛马尔托夫指标。研究证明，在近凯勒流形上，通过典范联络，平均曲率类是闭的，并通过体积形式的相对闭性条件，建立了对零叶 foliation 的极小性判别准则，将经典结果推广至共辛情形。

ABSTRACT

The first purpose of this paper is to generalize the well-known Maslov indices of maps of open Riemann surfaces with boundary lying on Lagrangian submanifolds to maps with boundary lying on coisotropic submanifolds in symplectic manifolds. For this purpose, we first define the notion of {\it Maslov loops} of coisotropic Grassmanians and their indices. Then we introduce the notions of {\it transverse Maslov bundle} of coisotropic submanifolds, and {\it gradable coisotropic submanifolds}. We then define {\it graded coisotropic submanifolds} and the {\it coisotropic Maslov index} of the maps with boundary lying on such graded coisotropic submanifolds, which reduces to the standard Maslov index of disc maps for the case of Lagrangian submanifolds. The second purpose is to study the geometry of coisotropic submanifolds in Kähler manifolds. We introduce the notion of the leafwise mean curvature form and transverse canonical bundle of coisotropic submanifolds and study various geometric properties thereof. Finally we combine all these to define the notion of {\it special coisotropic submanifolds} for the case of Calabi-Yau manifolds, and prove various consequences on their properties of the coisotropic Maslov indices.

研究动机与目标

• 将平均曲率与马尔托夫类理论从凯勒与爱因斯坦-凯勒流形中的拉格朗日子流形推广至共辛子流形。
• 在近凯勒流形中，为共辛子流形定义叶状平均曲率向量与曲率形式。
• 在共辛格拉斯曼ian中引入马尔托夫环的概念，并定义其关联指标。
• 通过体积形式的相对闭性条件，建立共辛子流形上零叶 foliation 极小性的判别准则。
• 在卡勒-尤阿流形中定义分次与特殊共辛子流形，并推导其对盘映射的共辛马尔托夫指标的影响。

提出的方法

• 通过近凯勒流形上的典范联络，引入叶状平均曲率形式 $\alpha_Y^\parallel$。
• 利用典范联络与曲率形式，推导出恒等式 $i d_{\mathcal{F}} \alpha_Y^\parallel - {}^E\text{curv}(K_Y) = i^*_{\mathcal{F}}(\rho) + d_{\mathcal{F}}(\tau)$，建立曲率与里奇形式之间的关系。
• 在共辛格拉斯曼ian $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ 中定义马尔托夫环，并通过辛结构与复结构构造其关联指标。
• 应用嘉当结构方程于适配共辛子流形的标架，计算叶的第二基本形式与平均曲率向量。
• 在零叶 foliation 上引入体积形式 $\nu_Y = e^*_{k+1} \wedge \cdots \wedge e^*_n$，并证明其相对闭性刻画了极小叶。
• 通过上同调类 $[\alpha_L] \in H^1(L; \mathbb{R})$ 推导出共辛马尔托夫类的类比，并将其与边界位于特殊共辛子流形上的盘映射关联。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将凯勒流形中拉格朗日子流形的平均曲率类与马尔托夫指标推广至共辛子流形？
• RQ2 典范联络在定义共辛子流形的叶状平均曲率与曲率形式中起什么作用？
• RQ3 在何种条件下，共辛子流形上的零叶 foliation 是极小的？其几何特征如何刻画？
• RQ4 共辛格拉斯曼ian $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ 中的马尔托夫环具有何种辛几何意义？其与拉格朗日情形有何不同？
• RQ5 卡勒-尤阿流形中分次与特殊共辛子流形的概念，如何影响边界位于此类子流形上的盘映射的马尔托夫指标？

主要发现

• 叶状平均曲率形式 $\alpha_Y^\parallel$ 满足恒等式 $i d_{\mathcal{F}} \alpha_Y^\parallel - {}^E\text{curv}(K_Y) = i^*_{\mathcal{F}}(\rho) + d_{\mathcal{F}}(\tau)$，推广了拉格朗日情形。
• 在爱因斯坦-凯勒流形中，平均曲率类 $[\alpha_L] \in H^1(L; \mathbb{R})$ 是闭的，扩展了 Dazord 与 Morvan 的结果。
• 共辛子流形上的零叶 foliation 是极小的，当且仅当体积形式 $\nu_Y$ 在每个叶上是相对闭的。
• 在 $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ 中的马尔托夫环不是同伦不变量，但具有辛不变性，推广了拉格朗日情形。
• 对于卡勒-尤阿流形中的特殊共辛子流形，边界位于此类子流形上的盘映射的马尔托夫指标满足特定的曲率与上同调约束。
• 共辛格拉斯曼ian $\Gamma_k(\mathbb{R}^{2n}, \omega_0)$ 同胚于 $U(n)/(U(k) \times O(n-k))$，其维数为 $\frac{(n+3k+1)(n-k)}{2}$。