[论文解读] Geometry of complex bounded domains with finite-volume quotients

Kefeng Liu, Yunhui Wu|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 35被引用 3

一句话总结

本文证明了具有有限体积凯勒-爱因斯坦商的有界强伪凸域的自同构群的单位分支是无紧致因子的半单群。利用李群理论与ℓ²上同调，本文证明了具有不可约基本群和单参数自同构群的此类域微分同构于有界对称域——从而在有限体积情形下解决了叶扬与卡兹丹长期悬而未决的猜想。

ABSTRACT

We first show that for a bounded pseudoconvex domain with a manifold quotient of finite-volume in the sense of Kahler-Einstein measure, the identity component of the automorphism group of this domain is semi-simple without compact factors. This partially answers an open question in [Fra95]. Then we apply this result in different settings to solve several open problems, for examples, (1). We prove that the automorphism group of the Griffiths domain [Gri71] in $\mathbb{C}^2$ is discrete. This gives a complete answer to an open question raised four decades ago. (2). We show that for a contractible HHR/USq complex manifold $D$ with a finite-volume manifold quotient $M$, if $D$ contains a one-parameter group of holomorphic automorphisms and the fundamental group of $M$ is irreducible, then $D$ is biholomorphic to a bounded symmetric domain. This theorem can be viewed as a finite-volume version of Nadel-Frankel's solution for the Kahzdan conjecture, which has been open for years. (3). We show that for a bounded convex domain $D\subset \mathbb{C}^n$ of $C^2$-smooth boundary, if $D$ has a finite-volume manifold quotient with an irreducible fundamental group, then $D$ is biholomorphic to the unit ball in $\mathbb{C}^n$, which partially solves an old conjecture of Yau. For (2) and (3) above, if the complex dimension is equal to $2$, more refined results will be provided.

研究动机与目标

• 将奈德尔-弗兰克尔对卡兹丹猜想的解法推广至有限体积情形，其中紧致商被有限体积商取代。
• 解决有界域在具有有限体积商和连续自同构群时是否微分同构于有界对称域的开放问题。
• 证明不可约有界凸域在$C^1$-光滑边界且具有不可约基本群的有限体积商时，微分同构于单位球——部分证实叶扬猜想。
• 使用替代于调和映射的方法，基于李群与上同调技术，建立奈德尔-弗兰克尔定理的有限体积版本。

提出的方法

• 证明具有有限体积凯勒-爱因斯坦商的有界强伪凸域的自同构群的单位分支是无紧致因子的半单群，推广奈德尔与弗兰克尔的结果。
• 利用ℓ²上同调与李群理论，证明若自同构群包含单参数子群且基本群不可约，则该域微分同构于有界对称域。
• 在复分析中应用缩放方法，证明$C^1$-光滑边界蕴含存在连续单参数自同构子群。
• 结合有界几何、对数一般型的准射影簇以及刚性定理（如乔斯特-左）的结果，得出微分同构于厄米特对称空间的结论。
• 利用哈里什-钱德拉嵌入与边界正则性论证，排除$C^1$-光滑凸域具有高秩对称域的可能性。
• 利用厄米特对称空间中格的非零欧拉示性数，推导出维数相等，并应用刚性定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 奈德尔-弗兰克尔定理在有界对称域上的结果能否推广至有限体积商的情形？
• RQ2 具有$C^1$-光滑边界和不可约基本群的有限体积商的有界凸域是否必然微分同构于单位球？
• RQ3 在有限体积商情形下，若存在单参数全纯自同构群，是否意味着该域为有界对称域？
• RQ4 能否证明$\mathbb{C}^2$中格里菲斯域的自同构群为离散群，如四十余年来所猜想的？
• RQ5 在何种条件下，具有有限体积商的单连通$\operatorname{HHR/USq}$复流形微分同构于厄米特对称空间？

主要发现

• 具有有限体积凯勒-爱因斯坦商的有界强伪凸域的自同构群的单位分支是无紧致因子的半单群。
• 格里菲斯域在$\mathbb{C}^2$中的自同构群是离散的，完全解决了自1971年以来悬而未决的猜想。
• 若单连通$\operatorname{HHR/USq}$复流形$D$具有不可约基本群的有限体积商，并且包含单参数自同构群，则$D$微分同构于有界对称域。
• 在$\mathbb{C}^n$中不可约有界凸域若具有$C^1$-光滑边界且具有不可约基本群的有限体积商，则微分同构于$\mathbb{C}^n$中的单位球，部分证实了叶扬猜想。
• 在复维数2时，获得更强的刚性结果，基于欧拉示性数与自同构群结构，可区分单位球与双圆盘。
• 对于$C^1$-光滑凸域，连续单参数自同构群的存在性迫使该域微分同构于单位球，这与高秩对称域的边界正则性相矛盾。