[论文解读] Geometry of Complex Networks and Topological Centrality

Gyan Ranjan, Zhi-Li Zhang|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2011

Complex Network Analysis Techniques参考文献 29被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于图拉普拉斯矩阵伪逆的几何方法来评估网络鲁棒性，通过定义拓扑中心性 $\mathcal{C}^*(i) = 1/l^{+}_{ii}$，其中 $l^{+}_{ii}$ 表示节点 $i$ 在 $n$ 维嵌入空间中到原点的平方距离。该方法将中心性与随机游走绕行开销、电路网络中的电压分布以及边失效下的平均连通性相联系，展示了对结构扰动更高的敏感性，并在节点排序方面优于传统指标。

ABSTRACT

We explore the geometry of complex networks in terms of an n-dimensional Euclidean embedding represented by the Moore-Penrose pseudo-inverse of the graph Laplacian $(\bb L^+)$. The squared distance of a node $i$ to the origin in this n-dimensional space $(l^+_{ii})$, yields a topological centrality index $(\mathcal{C}^{*}(i) = 1/l^+_{ii})$ for node $i$. In turn, the sum of reciprocals of individual node structural centralities, $\sum_{i}1/\mathcal{C}^*(i) = \sum_{i} l^+_{ii}$, i.e. the trace of $\bb L^+$, yields the well-known Kirchhoff index $(\mathcal{K})$, an overall structural descriptor for the network. In addition to this geometric interpretation, we provide alternative interpretations of the proposed indices to reveal their true topological characteristics: first, in terms of forced detour overheads and frequency of recurrences in random walks that has an interesting analogy to voltage distributions in the equivalent electrical network; and then as the average connectedness of $i$ in all the bi-partitions of the graph. These interpretations respectively help establish the topological centrality $(\mathcal{C}^{*}(i))$ of node $i$ as a measure of its overall position as well as its overall connectedness in the network; thus reflecting the robustness of node $i$ to random multiple edge failures. Through empirical evaluations using synthetic and real world networks, we demonstrate how the topological centrality is better able to distinguish nodes in terms of their structural roles in the network and, along with Kirchhoff index, is appropriately sensitive to perturbations/rewirings in the network.

研究动机与目标

• 开发一种超越传统图论度量的网络鲁棒性几何框架。
• 基于图拉普拉斯矩阵的 Moore-Penrose 伪逆定义一种新的节点中心性度量。
• 确立拓扑中心性作为节点结构性角色和对多重边失效鲁棒性的可靠指标。
• 证明所提出的中心性和 Kirchhoff 指数对网络重布线和扰动具有敏感性，优于现有度量。

提出的方法

• 使用图拉普拉斯矩阵 $\mathbf{L}^+$ 的 Moore-Penrose 伪逆，将网络嵌入到 $n$ 维欧几里得空间中。
• 将拓扑中心性定义为 $\mathcal{C}^*(i) = 1/l^{+}_{ii}$，其中 $l^{+}_{ii}$ 是 $\mathbf{L}^+$ 的对角线元素，表示节点 $i$ 到原点的平方距离。
• 将 $\mathcal{C}^*(i)$ 与强制经过节点 $i$ 的随机游走的平均绕行开销相关联，从而关联其全局位置与连通性。
• 建立 $\mathcal{C}^*(i)$ 与随机游走中返回概率的等价性，类比于等效电路网络中的电压分布。
• 将 $\mathcal{C}^*(i)$ 与网络二分划中包含节点 $i$ 的连通分量的平均大小相联系，反映其对边失效的鲁棒性。
• 利用 $\mathbf{L}^+$ 的迹 $\sum_i l^{+}_{ii} = \mathcal{K}$，定义 Kirchhoff 指数作为网络紧凑性和鲁棒性的全局结构描述符。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用图拉普拉斯矩阵的 Moore-Penrose 伪逆定义一种反映节点在复杂网络中结构性角色的几何中心性度量？
• RQ2 拓扑中心性在随机游走绕行和电路网络类比中的物理与概率解释是什么？
• RQ3 拓扑中心性与经典中心性度量相比，在区分节点结构性角色方面表现如何？
• RQ4 拓扑中心性和 Kirchhoff 指数对局部网络扰动（如边重布线）的敏感程度如何？
• RQ5 在稀疏现实网络中，能否高效计算 $\mathbf{L}^+$ 的对角线元素？

主要发现

• 拓扑中心性 $\mathcal{C}^*(i) = 1/l^{+}_{ii}$ 有效按节点的全局位置和连通性对节点进行排序，比度中心性或介数中心性更准确地区分核心节点、网关节点和边缘节点。
• Kirchhoff 指数 $\mathcal{K} = \sum_i l^{+}_{ii}$ 作为整体网络紧凑性和鲁棒性的几何度量，值越低表示结构鲁棒性越高。
• 在合成网络和现实世界网络上的实证评估表明，$\mathcal{C}^*(i)$ 和 $\mathcal{K}$ 对局部扰动和重布线具有适当的敏感性，而这一特性在其他中心性度量中并不一致出现。
• 该中心性度量在计算上是可行的，时间复杂度为 $O(n^3)$，与测地线中心性和子图中心性相当，并可通过稀疏矩阵技术与蒙特卡洛近似方法加速。
• 对于稠密图，拓扑中心性可仅通过节点度数近似，即 $H_{ij} \approx \text{Vol}(G) \cdot d(i)^{-1}$，表明中心性主要由局部连通性决定。
• 该方法在拓扑结构、随机游走返回概率与电路网络理论之间建立了严谨联系，为同一几何量提供了多种直观解释。