[论文解读] Geometry of contact transformations and domains: orderability vs. squeezing

Yakov Eliashberg, Sang Seon Kim+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 27, 2005

Geometric and Algebraic Topology被引用 13

一句话总结

本文通過廣義弗洛爾同調理論與一種新嵌入技術，確立了大尺度上的接觸非壓縮性，表明接觸序性具有拓撲敏感性——標準接觸球面非序，而實射影空間則是序的，而小尺度下非壓縮性消失。

ABSTRACT

Gromov's famous non-squeezing theorem (1985) states that the standard symplectic ball cannot be symplectically squeezed into any cylinder of smaller radius. Does there exist an analogue of this result in contact geometry? Our main finding is that the answer depends on the sizes of the domains in question: We establish contact non-squeezing on large scales, and show that it disappears on small scales. The algebraic counterpart of the (non)-squeezing problem for contact domains is the question of existence of a natural partial order on the universal cover of the contactomorphisms group of a contact manifold. In contrast to our earlier beliefs, we show that the answer to this question is very sensitive to the topology of the manifold. For instance, we prove that the standard contact sphere is non-orderable while the real projective space is known to be orderable. Our methods include a new embedding technique in contact geometry as well as a generalized Floer homology theory which contains both cylindrical contact homology and Hamiltonian Floer homology. We discuss links to a number of miscellaneous topics such as topology of free loops spaces, quantum mechanics and semigroups. An erratum is attached whose purpose is to is to correct a number of inconsistencies in the main paper. These are related to the grading of generalized Floer homology and do not affect formulations and proofs of the main results of the paper.

研究动机与目标

• 確定接觸幾何中是否存在格羅莫夫非壓縮定理的接觸類比。
• 研究接觸流形的接觸微分同胚群的萬有覆疊上是否存在自然的偏序。
• 釐清接觸序性與非壓縮性對底層流形的拓撲依賴性。
• 發展一種統一圓柱接觸同調與哈密頓弗洛爾同調的廣義弗洛爾同調理論。
• 探討接觸幾何、環路空間、量子力學與半群理論之間的聯繫。

提出的方法

• 在接觸幾何中引入一種新嵌入技術，以分析辛與接觸嵌入。
• 構造一種廣義弗洛爾同調理論，整合圓柱接觸同調與哈密頓弗洛爾同調。
• 將廣義弗洛爾同調應用於檢測接觸流形中的非壓縮現象。
• 分析廣義弗洛爾同調的分級結構，以解決早期形式中的不一致問題。
• 利用來自同調的拓撲不變量，區分序與非序的接觸流形。
• 依賴接觸拓撲、辛剛性與接觸微分同胚群萬有覆疊中代數結構之間的相互作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 接觸非壓縮定理的接觸類比是否成立？若成立，其條件為何？
• RQ2 什麼決定了接觸微分同胚群的萬有覆疊是否允許自然的偏序？
• RQ3 接觸區域的大小如何影響非壓縮現象的存在性？
• RQ4 流形的拓撲在接觸序性中扮演何種角色？
• RQ5 如何構造一種統一的弗洛爾同調理論，以同時包含圓柱接觸同調與哈密頓弗洛爾同調？

主要发现

• 在大尺度上確立了接觸非壓縮性，展示了格羅莫夫辛非壓縮性的接觸類比。
• 非壓縮性在小尺度下消失，表明接觸剛性存在依賴於區域大小的相變。
• 標準接觸球面是非序的，與之相對，實射影空間是已知的序流形。
• 接觸微分同胚群萬有覆疊上自然偏序的存在性極其敏感於接觸流形的拓撲性質。
• 提出一種新的廣義弗洛爾同調理論，統一了圓柱接觸同調與哈密頓弗洛爾同調，成為檢測非壓縮性的關鍵工具。
• 更正勘誤修正了廣義弗洛爾同調中的分級不一致問題，但未影響主要結果或證明。