[论文解读] Geometry of curves with exceptional secant planes

Ethan Cotterill|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2007

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 30被引用 11

一句话总结

本文将布里尔-诺特理论扩展至线性系列对，以研究具有异常切触平面的曲线，证明了一般亏格g的曲线不存在此类平面。文中推导了在族中计数异常线性系列的典型公式，并对d-切触(d−2)-平面提出了生成函数猜想，为计算曲线模空间中的除子类提供了框架。

ABSTRACT

We study curves with linear series that are exceptional with regard to their secant planes. Working in the framework of an extension of Brill-Noether theory to pairs of linear series, we prove that a general curve of genus g has no exceptional secant planes, in a very precise sense. We also address the problem of computing the number of linear series with exceptional secant planes in a one-parameter family in terms of tautological classes associated with the family. We obtain conjectural generating functions for the that admit d-secant (d−2)-planes. We also describe a strategy for computing the classes of divisors associated to exceptional secant plane behavior in the Picard group of the moduli space of curves in a couple of naturally-arising infinite families of cases, and we give a formula for the number of linear series with exceptional secant planes on a general curve equipped with a one-dimensional family of linear series. tautological coefficients of secant-plane formulas associated to series g 2d−1 m

研究动机与目标

• 使用扩展的布里尔-诺特理论框架，研究具有相对于其切触平面而异常的线性系列的曲线。
• 严格地证明一般亏格g的曲线在几何意义上不具有任何异常切触平面。
• 利用典型类计算在一维参数族中具有异常切触平面的线性系列数量。
• 为模空间中曲线的除子类提供一种计算策略，这些除子类与异常切触平面行为相关。
• 为配备有一维线性系列族的一般曲线，提供异常线性系列数量的公式。

提出的方法

• 将布里尔-诺特理论扩展至线性系列对，以分析异常切触平面行为。
• 使用与一维族相关的典型类，计算异常线性系列的数量。
• 应用几何与上同调技术，推导切触平面构型的公式。
• 通过典型系数，提出d-切触(d−2)-平面数量的猜想性生成函数。
• 为无限多种情形下模空间中除子类的计算，发展一种策略。
• 运用交点理论与模理论方法，将线性系列行为与典型类联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 一般亏格g的曲线是否具有任何异常切触平面？若有，其条件为何？
• RQ2 如何在一维族中利用典型类计算具有异常切触平面的线性系列数量？
• RQ3 在亏格g的曲线上，度数为2d−1、维数为m的线性系列所关联的切触平面公式的典型系数是什么？
• RQ4 能否为具有异常线性系列的曲线上d-切触(d−2)-平面的数量构造一个生成函数？
• RQ5 配备有一维族的普通曲线上，异常线性系列数量的公式是什么？

主要发现

• 一般亏格g的曲线不具有异常切触平面，确认了一个精确的几何非存在性结果。
• 本文推导出配备有一维族的普通曲线上，具有异常切触平面的线性系列数量的公式。
• 提出了d-切触(d−2)-平面数量的猜想性生成函数，其表达形式基于典型系数。
• 发展了一种策略，用于计算模空间中与异常切触平面行为相关的除子类。
• 通过族的几何所导出的典型类，计算了一维族中异常线性系列的数量。
• 该框架成功将布里尔-诺特理论扩展至线性系列对，使异常切触平面构型的分析成为可能。