[论文解读] Geometry of Distribution-Constrained Optimal Stopping Problems

Mathias Beiglboeck, Manu Eder+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2016

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文通过适配最优传输和局部鞅传输技术，为布朗运动的分布约束最优停时问题提出了一种几何方法。研究表明，对于一大类成本过程，最优停时几乎必然等于适当相空间中某一障碍的首 hitting 时间，既恢复了如 Shiryaev 的逆首 hitting 问题等经典结果，也为涉及上确界过程和加权泛函的问题提供了新解法。

ABSTRACT

We adapt ideas and concepts developed in optimal transport (and its martingale variant) to give a geometric description of optimal stopping times of Brownian motion subject to the constraint that the distribution of the stopping time is a given probability. The methods work for a large class of cost processes. (At a minimum we need the cost process to be measurable and adapted. Continuity assumptions can be used to guarantee existence of solutions.) We find that for many of the cost processes one can come up with, the solution is given by the first hitting time of a barrier in a suitable phase space. As a by-product we recover classical solutions of the inverse first passage time problem / Shiryaev's problem.

研究动机与目标

• 为在停止时间分布约束下布朗运动的最优停时提供几何表征。
• 将最优传输和局部鞅最优传输的方法拓展至求解约束最优停时问题。
• 通过障碍型解法恢复并推广经典结果，如 Shiryaev 的逆首 hitting 问题。
• 建立解唯一表征为相空间中障碍首 hitting 时间的条件。

提出的方法

• 将最优传输中的 c-循环单调集概念适配至分布约束最优停时的设定。
• 利用 Stop-Go 对的概念，通过相空间中停止时间支撑的几何性质表征其最优性。
• 在布朗运动及其运行上确界构成的相空间中定义上半连续障碍，以构造最优停时。
• 应用可选停时定理与一致可积性论证，验证障碍闭包的 hitting 时间确实为最优解。
• 通过路径的扰动（利用平移后的布朗运动）证明，障碍 hitting 时间几乎必然等于最优停时。
• 通过证明任意替代停时必位于两个障碍 hitting 时间之间，且二者几乎必然重合，从而建立解的唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，给定分布 μ 的布朗运动的最优停时为相空间中某障碍的首 hitting 时间？
• RQ2 如何将最优传输理论适配以求解停止时间具有分布约束的最优停时问题？
• RQ3 能否通过基于几何传输的框架恢复并推广经典结果，如 Shiryaev 的逆首 hitting 问题？
• RQ4 Stop-Go 对在表征分布约束最优停时问题的最优性中起何作用？
• RQ5 在何种情况下最优解需要随机化停时而非确定性障碍 hitting 时间？

主要发现

• 对于一大类形式为 ψ(B_t, t) 的成本过程，最优停时 τ 几乎必然为向下障碍 β(t) 的首 hitting 时间，即 τ = inf{t > 0 : B_t ≤ β(t)}。
• 当 ψ(B_t, t) = B_t A(t)，其中 A 严格递增且多项式有界时，在 μ 具有有限矩的条件下，最优停时为障碍 β(t) 的 hitting 时间。
• 当 ψ(B_t, t) = φ(B_t)，且 φ''' > 0 且多项式增长时，若 μ 具有足够矩，则最优停时仍为障碍 β(t) 的 hitting 时间。
• 在最大化 E[B^*_τ] 的问题中，其中 B^*_t = sup_{s≤t} B_s，最优停时为 (B_t - B^*_t, t) 相空间中障碍的首 hitting 时间，且 β(t) ≤ 0。
• 逆首 hitting 问题（即 Shiryaev 问题）的解作为特例被恢复，其中障碍首 hitting 时间的分布与给定 μ 一致。
• 当时间轴上下的障碍不重合时，最优解可能需要随机化停时，表明纯障碍结构的失效。