[论文解读] Geometry of generating functions and Lagrangian spectral invariants

Yong‐Geun Oh|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2012

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 7

一句话总结

该论文在余切丛中建立了哈密顿同伦下拉格朗日谱不变量的 $C^0$-连续性，证明当哈密顿流趋近于恒等映射时，差值 $\rho^{\text{lag}}(H;1) - \rho^{\text{lag}}(H;[\text{pt}]^\#)$ 消失，前提是流在具有非空内部的闭子集之外支撑。论文引入了一种新颖的“悬崖墙手术”构造，以处理基本相位函数 $f_H$ 中的奇点，通过拉格朗日弗洛尔同调将谱不变量与微观几何联系起来。

ABSTRACT

Partially motivated by the study of topological Hamiltonian dynamics, we prove various $C^0$-aspects of the Lagrangian spectral invariants and the basic phase functions $f_H$, that is, a natural graph selector constructed by Lagrangian Floer homology of $H$ (relative to the zero section $o_N$). In particular, we prove that $$ γ^{lag}(ϕ_H^1(o_N)): = ρ^{lag}(H;1) - ρ^{lag}(H;[pt]^\#) o 0 $$ as $ϕ_H^1 o id$, \emph{provided} $H$'s satisfy $\supp X_H \subset D^R(T^*N) \setminus o_B$ for some $R > 0$ and a closed subset $B \subset N$ with nonempty interior. We also study the relationship between $f_H$ and $ρ^{lag}(H;1)$ and prove a structure theorem of the micro-support of the singular locus $\Sing(σ_H)$ of the function $f_H$. Based on this structure theorem and a classification theorem of generic Lagrangian singularity in $\dim N = 2$ obtained by Arnold's school, we define the notion of cliff-wall surgery when $\dim N = 2$: the surgery replaces a multi-valued Lagrangian graph $ϕ_H^1(o_N)$ by a piecewise-smooth Lagrangian cycle that is canonically constructed out of the single valued branch $Σ_H: = \Graph df_H \subset ϕ_H^1(o_N)$ defined on an open dense subset of $N \setminus \Sing(σ_H)$ of codimension 1.

研究动机与目标

• 在余切丛上的哈密顿动力学背景下，建立拉格朗日谱不变量的 $C^0$-连续性。
• 分析与零截面哈密顿同伦相关的基本相位函数 $f_H$ 的几何结构。
• 定义并研究一种新的手术操作——“悬崖墙手术”——通过奇点的微小支撑将多值拉格朗日图像转化为分段光滑的循环。
• 通过比较定理，将谱不变量 $\rho^{\text{lag}}(H;1)$ 与哈密顿流的 $C^0$-范数联系起来。

提出的方法

• 使用拉格朗日弗洛尔同调在 $T^*N$ 中的拉格朗日子流形上定义谱不变量 $\rho^{\text{lag}}(H;\alpha)$。
• 通过生成函数构造基本相位函数 $f_H$ 作为图选择器，编码零截面的像 $\phi_H^1(o_N)$。
• 分析波前 $\sigma_H$ 的奇点集 $\operatorname{Sing}(\sigma_H)$，证明其微小支撑的结构定理。
• 在二维情形下引入“悬崖墙手术”，通过从单值分支 $\operatorname{Graph} df_H$ 在 $N \setminus \operatorname{Sing}(\sigma_H)$ 上构建的规范分段光滑拉格朗日循环，替换 $\phi_H^1(o_N)$ 中的多值部分。
• 使用三角不等式和 $L^{(1,\infty)}$-逼近技术，控制扰动下的谱不变量。
• 利用 $C^0$-距离和振幅估计，证明主要连续性结果：$\rho^{\text{lag}}(H;1) - \rho^{\text{lag}}(H;[\text{pt}]^\#) \leq 2 \cdot \frac{\operatorname{osc} f}{C_{(f;B,T)}} \cdot \operatorname{osc}_{C^0}(\phi_H^1; o_N)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $T^*N$ 中，当零截面的哈密顿同伦趋于 $C^0$-小流时，拉格朗日谱不变量 $\rho^{\text{lag}}(H;1) - \rho^{\text{lag}}(H;[\text{pt}]^\#)$ 如何变化？
• RQ2 基本相位函数 $f_H$ 的奇点集 $\operatorname{Sing}(\sigma_H)$ 的几何结构是什么？它与拉格朗日像 $\phi_H^1(o_N)$ 的拓扑有何关系？
• RQ3 当 $\dim N = 2$ 时，是否可以对多值拉格朗日图像定义一种规范的手术操作，以恢复一个行为良好的拉格朗日循环？
• RQ4 在流被限制在 $N$ 的非平凡子集之外时，谱不变量在多大程度上可由哈密顿流的 $C^0$-范数控制？
• RQ5 谱不变量 $\rho^{\text{lag}}(H;\alpha)$ 在哈密顿函数的复合与扰动下如何变化？

主要发现

• 当 $\phi_H^1 \to \text{id}$ 时，谱不变量差 $\rho^{\text{lag}}(H;1) - \rho^{\text{lag}}(H;[\text{pt}]^\#)$ 收敛于零，前提是 $\operatorname{supp} X_H \subset D^R(T^*N) \setminus o_B$，其中 $R > 0$ 且 $B \subset N$ 为具有非空内部的闭子集。
• 谱不变量 $\rho^{\text{lag}}(H;1)$ 满足上界估计 $\rho^{\text{lag}}(H;1) \leq \rho^{\text{lag}}(H\#(f\circ\pi);1) + 2\operatorname{osc} f$，其中 $f$ 是在 $B$ 上支撑的函数。
• 对所有满足支撑条件的 $H$，不等式 $\rho^{\text{lag}}(H;1) - \rho^{\text{lag}}(H;[\text{pt}]^\#) \leq 2 \cdot \frac{\operatorname{osc} f}{C_{(f;B,T)}} \cdot \operatorname{osc}_{C^0}(\phi_H^1; o_N)$ 成立。
• 建立了 $\operatorname{Sing}(\sigma_H)$ 的微小支撑的结构定理，从而使得二维情形下的“悬崖墙手术”得以定义。
• 悬崖墙手术从 $N \setminus \operatorname{Sing}(\sigma_H)$ 上的单值图 $\operatorname{Graph} df_H$ 构造出一个规范的分段光滑拉格朗日循环，取代 $\phi_H^1(o_N)$ 中的多值部分。
• 通过 $L^{(1,\infty)}$-拓扑中的逼近和拉格朗日弗洛尔同调中的三角不等式，证明了谱不变量的 $C^0$-连续性。