[论文解读] Geometry of Hermitian manifolds

Kefeng Liu, Xiaokui Yang|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2010

Mathematics and Applications参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文通过度量联络的第二里奇曲率张量，在紧致赫尔米特流形上建立了全纯截面与调和截面的消去定理。通过改进博赫纳公式并利用高斯宏度量，证明了非正的第二里奇曲率蕴含截面平行，负曲率则导致全holomorphic截面消失，将凯勒型结果推广至非凯勒赫尔米特几何。

ABSTRACT

On Hermitian manifolds, the second Ricci curvature tensors of various metric connections are closely related to the geometry of Hermitian manifolds. By refining the Bochner formulas for any Hermitian complex vector bundle (Riemannain real vector bundle) with an arbitrary metric connection over a compact Hermitian manifold, we can derive various vanishing theorems for Hermitian manifolds and complex vector bundles by the second Ricci curvature tensors. We will also introduce a natural geometric flow on Hermitian manifolds by using the second Ricci curvature tensor.

研究动机与目标

• 通过第二里奇曲率张量将凯勒型消去定理推广至非凯勒赫尔米特流形。
• 阐明赫尔米特流形上第一与第二里奇曲率在几何上的区别，特别是在非凯勒情形下的意义。
• 基于曲率界，建立全holomorphic与调和截面消失的条件。
• 引入一种基于第二里奇曲率张量的赫尔米特流形上的几何流。
• 证明当基度量为高斯宏度量时，挠率积分消失，从而在共形类中实现基于曲率的分析。

提出的方法

• 对具有任意度量联络的赫尔米特向量丛，改进博赫纳-科达伊恒等式。
• 将第二里奇曲率定义为在丛自同态部分上对陈曲率取度量迹。
• 利用高斯宏度量（满足 ∂∂̄ωⁿ⁻¹ = 0）以消除曲率恒等式中的挠率项。
• 利用第二里奇曲率正性的共形不变性，对基度量进行归一化。
• 推导微分形式（取值于向量丛）上 ∂̄*, L, Λ, τ 算子之间的交换关系。
• 将广义博赫纳公式应用于推导调和与全holomorphic截面的消去结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种曲率条件下，全holomorphic截面会在紧致赫尔米特流形上消失？
• RQ2 在非凯勒赫尔米特流形上，第一与第二里奇曲率在几何意义上有何不同？
• RQ3 在一般赫尔米特几何中，博赫纳公式中的挠率项是否可被消除？
• RQ4 第二里奇曲率在刻画调和截面不存在性方面起何作用？
• RQ5 高斯宏条件 ∂∂̄ωⁿ⁻¹ = 0 如何促进曲率分析与消去定理的建立？

主要发现

• 若第二赫尔米特-里奇曲率处处非正，则每个 ∂̄_E-闭截面均为平行截面。
• 若第二赫尔米特-里奇曲率处处非正且在某点为负，则全holomorphic截面空间 H⁰(M,E) 消失。
• 当 p ≤ q ≤ rank(E)，若第二里奇曲率 p-非正且在某点 p-负，则 H⁰(M,Λ^q E) = 0。
• 在紧致赫尔米特流形上，若第二里奇-陈曲率非负且在某点为正，则对所有 1 ≤ p ≤ n，有 H^{p,0}_{∂̄}(M) = 0。
• 若第二里奇-陈曲率非负且在某点为正，则代数亏格 χ(M,𝒪) = 1。
• 当基度量为高斯宏度量时，挠率积分消失，从而可在共形类中实现基于曲率的消去定理。