[论文解读] Geometry of infinitely presented small cancellation groups, Rapid Decay and quasi-homomorphisms

Goulnara Arzhantseva, Cornelia Druţu|arXiv (Cornell University)|Dec 20, 2012

Advanced Operator Algebra Research参考文献 45被引用 6

一句话总结

该论文通过在凯莱图中对群元素进行新颖的十字交叉分解，建立了满足 $C^\prime(1/10)$ 的无限呈现小扩张群的快速衰减性质。此外，证明了存在一个幂连续统的、线性无关的拟同态族，意味着在2阶上同调中比较映射的核具有不可数维数。

ABSTRACT

We study the geometry of infinitely presented groups satisfying the small cancelation condition C'(1/8), and define a standard decomposition (called the criss-cross decomposition) for the elements of such groups. We use it to prove the Rapid Decay property for groups with the stronger small cancelation property C'(1/10). As a consequence, the Metric Approximation Property holds for the reduced C*-algebra and for the Fourier algebra of such groups. Our method further implies that the kernel of the comparison map between the bounded and the usual group cohomology in degree 2 has a basis of power continuum. The present work can be viewed as a first non-trivial step towards a systematic investigation of direct limits of hyperbolic groups.

研究动机与目标

• 建立满足 $C^\prime(1/10)$ 的无限呈现小扩张群的快速衰减性质，将分析结果从有限呈现情形推广至更一般情形。
• 为 $C^\prime(1/8)$-群中的元素开发一种几何分解工具——十字交叉分解，以分析测地线与群结构。
• 在这些群中构造一个不可数的独立拟同态族，揭示其丰富的有界上同调结构。
• 通过快速衰减与拟同态等分析不变量，系统地研究双曲群的直接极限。
• 通过将群的性质与 $C^*_r(G)$ 和 $A(G)$ 的度量逼近性质联系起来，弥合几何群论与算子代数之间的鸿沟。

提出的方法

• 引入十字交叉分解，作为 $C^\prime(1/8)$-群中群元素的规范分解方式，基于凯莱图中测地线与中位对象的几何结构。
• 利用十字交叉分解控制字长的增长，并通过 $\eta$-关系子关联元素中的轮廓分析，界定拟同态的缺陷。
• 利用中位对象 $\mathfrak{m}(g,h)$ 检测嵌套拟复制关系子之间的分离，从而精确计算拟同态差值。
• 为 $\eta$-关系子关联元素 $\mathfrak{u}_n$ 定义拟同态 $\mathfrak{h}_{\mathfrak{u}_n}$，其缺陷有界于2，基于轮廓计数与分离条件。
• 从 $\ell^1$ 构造一个到拟同态空间 $\widetilde{QH}(G)$ 的单射线性映射，通过 $\mathfrak{h}(\mathfrak{u}_n^k)$ 的增长矛盾性证明其不可数维数。
• 利用十字交叉分解验证在 $C^\prime(1/10)$ 条件下快速衰减不等式成立，从而推出 $C^*_r(G)$ 与 $A(G)$ 的度量逼近性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 满足 $C^\prime(1/10)$ 的无限呈现小扩张群是否具有快速衰减性质？
• RQ2 能否在 $C^\prime(1/8)$-群中构造群元素的规范分解，以控制测地线行为与字长？
• RQ3 此类群在2阶有界上同调类空间中的维数是多少？
• RQ4 能否在 $C^\prime(1/10)$-群中构造一个不可数的独立拟同态族？
• RQ5 测地线与中位对象的几何结构如何与小扩张设定下拟同态的缺陷相关联？

主要发现

• 满足 $C^\prime(1/10)$ 关系式的群 $G$ 满足快速衰减性质，从而推出其约化 $C^*$-代数 $C^*_r(G)$ 与傅里叶代数 $A(G)$ 具备度量逼近性质。
• 在2阶有界上同调到普通上同调的比较映射的核具有连续统基数的基，表明存在一个巨大的非平凡有界上同调类空间。
• 在 $G$ 中存在一个不可数的线性无关拟同态族，其空间 $\widetilde{QH}(G)$ 的维数等于连续统。
• 十字交叉分解为 $C^\prime(1/8)$-群中的测地线与群元素分析提供了一种几何工具，其与 Rips-Sela 的规范代表不同。
• 拟同态 $\mathfrak{h}_{\mathfrak{u}_n}$ 的缺陷至多为2，且其在幂 $\mathfrak{u}_n^k$ 上的取值呈线性增长，从而保证了从 $\ell^1$ 到 $\widetilde{QH}(G)$ 的映射是单射。
• 该构造依赖于中位对象 $\mathfrak{m}(g,h)$ 的轮廓分离，差值 $\mathfrak{h}_{\mathfrak{v}}(gh) - \mathfrak{h}_{\mathfrak{v}}(g) - \mathfrak{h}_{\mathfrak{v}}(h)$ 的有界性为 $\pm 1$ 或 $\pm 2$，具体取决于嵌套与分离条件。