[论文解读] Geometry of isoparametric hypersurfaces in Riemannian manifolds

Jianquan Ge, Zizhou Tang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2010

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文建立了在正 Ricci 曲率的闭 Riemann 流形中，极小等参超曲面的唯一性，并对 Wang 的定理 D 提供了完整证明，表明等参函数的聚焦子流形是极小的。此外，当等参超曲面具有常主曲率时，其聚焦子流形在所有法方向上也具有常主曲率，因此为 austere 子流形，并推导出涉及 Ricci 曲率和数量曲率的曲率约束条件。

ABSTRACT

In a previous work, we studied isoparametric functions on Riemannian manifolds, especially on exotic spheres. One result there says that, in the family of isoparametric hypersurfaces of a closed Riemannian manifold, there exist at least one minimal isoparametric hypersurface. In this note, we show such minimal isoparametric hypersurface is also unique in the family if the ambient manifold has positive Ricci curvature. Moreover, we give a proof of the Theorem D claimed by Q.M.Wang (without proof) which asserts that the focal submanifolds of an isoparametric function on a complete Riemannian manifold are minimal. Further, we study isoparametric hypersurfaces with constant principal curvatures in general Riemannian manifolds. It turns out that in this case the focal submanifolds have the same properties as those in standard sphere, i.e., the shape operator with respect to any normal direction has common constant principal curvatures. Some necessary conditions involving Ricci curvature and scalar curvature are also derived.

研究动机与目标

• 证明在正 Ricci 曲率条件下，闭 Riemann 流形中极小等参超曲面的唯一性。
• 对 Q.M. Wang 的定理 D 提供完整证明，该定理断言等参函数的聚焦子流形是极小子流形。
• 研究一般 Riemann 流形中具有常主曲率的等参超曲面的几何性质。
• 推导出此类等参函数存在的必要曲率条件，特别是涉及 Ricci 曲率和数量曲率的条件。
• 将空间形式中等参超曲面的经典结果推广至任意 Riemann 流形。

提出的方法

• 利用 Riccati 方程分析从聚焦子流形出发的法测地线上传播的形状算子。
• 将距聚焦子流形距离为 $ t $ 的水平超曲面 $ M_t $ 的形状算子 $ S(t) $ 表示为距离 $ t $ 的幂级数。
• 应用推论 2.2，将 $ M_t $ 的主曲率与聚焦子流形上形状算子的特征值联系起来。
• 运用 Gauss 方程与 Riccati 方程，推导出聚焦子流形上截面曲率与 Ricci 曲率之间的曲率恒等式。
• 分析当 $ t \to 0^+ $ 时主曲率的渐近行为，推导出聚焦子流形上形状算子的特征值为常数且与法方向无关。
• 通过对曲率恒等式取迹，推导出必要曲率条件，将周围流形与聚焦子流形上的数量曲率和 Ricci 曲率联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有正 Ricci 曲率的闭 Riemann 流形中，极小等参超曲面是否唯一？
• RQ2 在完备 Riemann 流形上，等参函数的聚焦子流形是否总是极小子流形？
• RQ3 当等参超曲面具有常主曲率时，其聚焦子流形是否在所有法方向上也具有常主曲率？
• RQ4 为使 Riemann 流形能容纳具有常主曲率的等参函数，必须满足哪些曲率约束条件，特别是关于 Ricci 曲率和数量曲率的条件？
• RQ5 能否利用等参超曲面的性质，将法平行化理论推广至一般 Riemann 流形中的子流形？

主要发现

• 在具有正 Ricci 曲率的闭 Riemann 流形中，极小等参超曲面在其族内是唯一的。
• 在完备 Riemann 流形上，等参函数的聚焦子流形 $ M_{\pm} $ 是极小子流形，证实了 Q.M. Wang 的定理 D。
• 当等参超曲面 $ M_t $ 具有常主曲率时，其聚焦子流形 $ M_{\pm} $ 在所有法方向上也具有常主曲率，因此为 austere 子流形。
• 在 $ M_{\pm} $ 上，形状算子的特征值为常数，且成对出现相反符号，证实了 austere 性质。
• 通过曲率项定义的函数 $ \Gamma_P $ 在 $ M_{\pm} $ 的单位法丛上为常数，且曲率恒等式 (10) 在聚焦子流形上全局成立。
• 若周围流形 $ N $ 为 Einstein 流形且等参函数非正则，则非奇异聚焦流形为具有常数量曲率的极小超曲面。