[论文解读] Geometry of null hypersurfaces

Jacek Jezierski|ArXiv.org|May 19, 2004

Mathematics and Applications参考文献 6被引用 6

一句话总结

本文通过引入一种称为规范ADM动量类比的良定义张量密度，为洛伦兹时空中的零超曲面建立了一个几何框架，该张量密度作为零曲面上的内在几何对象。它以该对象表述高斯-Codazzi约束，并将该形式化应用于Bondi锥面，表明这些零曲面上的初始数据由自由数据如对称无迹张量 $\chi_{AB}$ 决定，从而在广义相对论中实现了对零边界的一致初始值表述。

ABSTRACT

We review some basic natural geometric objects on null hypersurfaces. Gauss-Codazzi constraints are given in terms of the analog of canonical ADM momentum which is a well defined tensor density on the null surface. Bondi cones are analyzed with the help of this object.

研究动机与目标

• 为洛伦兹时空中的零超曲面定义一个类似于ADM动量的良行为几何对象，该对象是内在的且不依赖于零法向量场的缩放选择。
• 以该内在张量密度重新表述高斯-Codazzi方程，确保约束在退化零曲面上具有几何意义。
• 将该形式化应用于渐近平坦时空中的Bondi锥面，以多齐次和可紧化的数据显式推导出规范数据 $ (g_{ab}, Q^a_{\ b}) $ 的表达式。
• 建立零锥面上的初始数据由自由数据如 $ \chi_{AB} $ 决定的结论，与Bondi-Sachs方法对引力辐射和零初始值问题的处理一致。

提出的方法

• 引入商丛 $ TN/K $，其中 $ K $ 是切于零超曲面 $ N $ 的零向量场，通过诱导度量 $ h $ 定义二维黎曼结构。
• 定义零Weingarten映射 $ b_K $ 及其关联的对称双线性型 $ B_K $，表示零第二基本形式，并展示其在 $ K $ 缩放下的变换性质。
• 构造张量密度 $ Q^a_{\ b}(K) $ 作为ADM动量的类比，由爱因斯坦张量密度 $ \mathcal{G}^\perp_\ \ b $ 导出，确保其为零曲面的内在对象。
• 将形式化应用于Bondi-Sachs坐标系，显式计算零曲面 $ u = \text{const} $ 上的 $ Q^a_{\ b}(K) $，使用度量假设和零向量场 $ K = e^{-2\beta}x^2 \partial_x $。
• 利用 $ h_{AB} $、$ \beta $ 和 $ U^A $ 的多齐次和共形 $ C^1 \times C^0 $-可紧化渐近展开，推导 $ Q^a_{\ b}(K) $ 和 $ g_{ab} $ 的渐近表达式。
• 将Raychaudhuri方程作为高斯-Codazzi约束的一个分量推导，表明其与零能量条件和测地线完备性一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在洛伦兹时空中的零超曲面上，规范ADM动量的内在类比是什么？
• RQ2 如何将高斯-Codazzi约束重新表述为不依赖于零法向量场选择的零曲面上的内在方程？
• RQ3 Bondi锥面上的初始数据是什么？在渐近区域中，它们如何由自由数据决定？
• RQ4 规范动量张量密度 $ Q^a_{\ b}(K) $ 能否用于为截断的类零空间初始值问题建立变分原理？

主要发现

• 规范动量类比 $ Q^a_{\ b}(K) $ 是零曲面上良定义的张量密度，不依赖于零向量场 $ K $ 的缩放，因此是几何内在的。
• 零超曲面上的高斯-Codazzi方程被重新表述为 $ \overline{\nabla}_a Q^a_{\ b}(K) + s v_K \partial_b (\partial_c \Lambda^c / v_K) = -\mathcal{G}^\perp_\ \ b $，其中左边是完全内在的几何对象。
• 在Bondi锥面上，分量 $ sQ^A_{\ B}(K) $ 和 $ sQ^x_{\ A}(K) $ 被显式计算，并表明其渐近由自由数据 $ \chi_{AB} $ 决定，其中 $ sQ^A_{\ B}(K) = x^{-2} \sin\theta (x^{-1}\delta^A_\ B - \chi^A_\ B + O(x^2)) $。
• Bondi锥面上的内在度量 $ g_{AB} $ 被发现为 $ g_{AB} = x^{-2}(\breve{h}_{AB} + x\chi_{AB} + O(x^2)) $，证实了预期的渐近行为。
• 规范数据的渐近行为完全由对称无迹张量 $ \chi_{AB} $ 控制，与标准Bondi-Sachs初始值表述一致。
• 该形式化支持在具有时空部分和零部分的截断曲面上，以 $ Q^a_{\ b}(K) $ 作为关键几何对象，建立初始数据的变分原理。