[论文解读] Geometry of orbit closures for the representations associated to gradings of Lie algebras of types $E_7$

Witold Kraśkiewicz, Jerzy Weyman|arXiv (Cornell University)|Jan 4, 2013

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用 15

一句话总结

本文使用Vinberg的框架，对E7李代数的Z-分次所对应的I型表示的轨道闭包进行分类。它计算了Hilbert多项式，确定了正规性、Cohen-Macaulay性与Gorenstein性，并提供了轨道闭包的自由解析与定义理想，所有显式计算均通过计算机代数系统及Buchsbaum-Eisenbud正合性判别法验证。

ABSTRACT

This paper is a continuation of arXiv:1201.1102. We investigate the orbit closures for the class of representations of simple algebraic groups associated to various gradings on the simple Lie algebra of type $E_7$. The methods for classifying the orbits for these actions were developed by Vinberg . We give the orbit descriptions, the degeneration partial orders, and indicate normality of the orbit closures. We also investigate the rational singularities, Cohen-Macaulay and Gorenstein properties for the orbit closures. We give the information on the defining ideals of orbit closures.

研究动机与目标

• 对E7李代数的Z-分次所导出的I型表示的轨道闭包进行分类。
• 确定轨道闭包的几何与代数性质，包括正规性、Cohen-Macaulay性、Gorenstein性以及有理奇点。
• 计算轨道闭包坐标环及其正规化的Hilbert多项式。
• 利用表示论与计算方法，描述坐标环的定义理想与自由解析。
• 通过计算机代数系统及Buchsbaum-Eisenbud精确性判别法验证结果。

提出的方法

• 利用Vinberg对轨道的两种描述：作为幂零轨道与分次分量g1交集的不可约分支，以及通过支撑子代数。
• 通过G/P旗簇上齐次向量丛的全空间，对轨道闭包实施几何去奇异化。
• 应用计算工具（Macaulay2、Python、自定义根/权程序）计算欧拉示性数、Hilbert级数与解析式。
• 利用Buchsbaum-Eisenbud判别法验证所提出的坐标环自由解析式的正合性。
• 利用E6与E7的表示理论，包括基本表示与最高权模。
• 通过在表示空间上的分次模分析轨道闭包坐标环的结构，显式给出解析式中的各项。

实验结果

研究问题

• RQ1 在E7李代数的Z-分次中，哪些轨道闭包出现在表示g1中，其参数化方式如何？
• RQ2 轨道闭包正规化的Hilbert多项式是什么？它们揭示了何种几何信息？
• RQ3 在何种条件下轨道闭包是正规的、Cohen-Macaulay的、Gorenstein的，或具有有理奇点？
• RQ4 轨道闭包的定义理想是什么？它们与三次不变量∆等不变量有何关联？
• RQ5 轨道闭包的坐标环能否作为表示环上的自由模被解析？此类解析式的各项是什么？

主要发现

• 余维数为9的轨道闭包（O4）是正规的，且具有有理奇点；其定义理想由三次与四次多项式生成。
• 在(E7, α7)情形下，最高轨道闭包¯O1的自由解析长度为15，其各项显式位于E6基本表示模[a,b,c,d,e,f]中。
• 对(E7, α7)情形下C[¯O1]的解析式被显式计算：0 → [0,0,0,0,0,0](−15) → ... → [0,0,0,0,0,0]，其结果在[G11]与[SW13]中已验证。
• 当且仅当不变量环Sym(g*1)^(G,G)由单个不变量∆生成时，轨道闭包Xdisc.才是超曲面；否则其余维数大于1。
• 轨道闭包为球对称当且仅当其支撑代数s仅含A1单个分支。
• 当轨道闭包非正规时，其正规化嵌入于g1 ⊕ gi（i > 1）中，表明其在更高分次分量中存在非平凡嵌入。