[论文解读] Geometry of orbit spaces of proper Lie groupoids
本文建立了任意正則李群胚的轨道空间的典范Whitney B分层与光滑控制数据，构造了一个横截不变的黎曼度量以诱导奇异黎曼叶状结构，证明轨道空间是长度空间且可三角剖分，并证明了基本上同调的de Rham定理，表明当商空间紧致时其为有限维。
In this paper, we study geometric properties of quotient spaces of proper Lie groupoids. First, we construct a natural stratification on such spaces using an extension of the slice theorem for proper Lie groupoids of Weinstein and Zung. Next, we show the existence of an appropriate metric on the groupoid which gives the associated Lie algebroid the structure of a singular riemannian foliation. With this metric, the orbit space inherits a natural length space structure whose properties are studied. Moreover, we show that the orbit space of a proper Lie groupoid can be triangulated. Finally, we prove a de Rham theorem for the complex of basic differential forms on a proper Lie groupoid.
研究动机与目标
- 发展正则李群胚轨道空间的一般理论，推广已知的正则李群作用结果。
- 从Zung的正则李群胚线性化定理中去除有限型和源局部平凡性等限制性假设。
- 在轨道空间上构造自然的度量结构，证明其在曲率有下界时继承长度空间与Alexandrov空间结构。
- 证明轨道空间可三角剖分，从而蕴含其存在良好的开覆盖，使上同调分析成为可能。
- 为正则李群胚上基本微分形式复形建立de Rham定理，证明在紧致商空间情况下其上同调为有限维。
提出的方法
- 使用切片定理（Weinstein与Zung）的推广，在无需有限型或源局部平凡性假设下，于轨道空间上构造典范Whitney B分层。
- 引入李群胚上横截不变黎曼度量的概念，该度量在每个轨道的法丛上群胚作用下不变。
- 证明任意正则李群胚上存在完备的横截不变黎曼度量。
- 建立度量管状邻域定理，表明在由连续函数控制的邻域内，群胚局部同构于其线性化形式。
- 通过子度量定义轨道空间上的自然度量结构，证明其为长度空间，且在曲率有下界时为Alexandrov空间。
- 利用轨道空间的三角剖分性（通过光滑控制数据），证明基本上同调的de Rham定理，将其与奇异上同调相联系。
实验结果
研究问题
- RQ1在不假设有限型或源局部平凡性的前提下，正则李群胚的轨道空间能否赋予一个典范的Whitney B分层？
- RQ2每个正则李群胚是否都存在横截不变的黎曼度量？该度量能否在单位空间上诱导出奇异黎曼叶状结构？
- RQ3轨道空间能否赋予自然的度量结构？在何种条件下其为长度空间或Alexandrov空间？
- RQ4正则李群胚的轨道空间是否可三角剖分？其拓扑后果为何？
- RQ5正则李群胚上基本微分形式复形的de Rham定理是否成立？当商空间紧致时，其基本上同调是否为有限维？
主要发现
- 任意正则李群胚的轨道空间均存在一个与群胚表示无关（在Morita等价意义下）的典范Whitney B分层及光滑控制数据。
- 任意正则李群胚均存在横截不变的黎曼度量，且其单位空间上存在奇异黎曼叶状结构，其叶为轨道的连通分支。
- 对任意轨道，存在一个度量管状邻域，使得群胚在此邻域上同构于其线性化形式，从而推广了切片定理。
- 从单位空间到轨道空间的典范投影是一个子度量，使得轨道空间为长度空间，且在曲率有下界时为Alexandrov空间。
- 轨道空间可三角剖分，这意味着其存在任意精细的良好开覆盖，并可将奇异上同调与基本复形的上同调相等同。
- 正则李群胚的基本上同调满足de Rham定理：其同构于轨道空间的奇异上同调，且在商空间紧致时为有限维。
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