[论文解读] Geometry of Parallelizable Manifolds in the Context of Generalized Lagrange Spaces

M. I. Wanas, Nabil L. Youssef+1 more|ArXiv.org|Apr 16, 2007

Advanced Differential Geometry Research参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文在广义黎曼空间中将经典AP-几何推广为广义绝对平行几何（GAP）几何，其中几何对象依赖于位置和方向（x 和 y）。定义了四种d-联络——经典联络、对偶联络、对称联络和黎曼联络——基于经典d-联络的扭转，推导出九个非零曲率张量，并计算了所有W-张量及其收缩，从而为超越经典AP-几何的新几何结构提供了物理解释。

ABSTRACT

In this paper, we deal with a generalization of the geometry of parallelizable manifolds, or the absolute parallelism (AP-) geometry, in the context of generalized Lagrange spaces. All geometric objects defined in this geometry are not only functions of the positional argument $x$, but also depend on the directional argument $y$. In other words, instead of dealing with geometric objects defined on the manifold $M$, as in the case of classical AP-geometry, we are dealing with geometric objects in the pullback bundle $π^{-1}(TM)$ (the pullback of the tangent bundle $TM$ by $ π: T M\longrightarrow M$). Many new geometric objects, which have no counterpart in the classical AP-geometry, emerge in this more general context. We refer to such a geometry as generalized AP-geometry (GAP-geometry). In analogy to AP-geometry, we define a $d$-connection in $π^{-1}(TM)$ having remarkable properties, which we call the canonical $d$-connection, in terms of the unique torsion-free Riemannian $d$-connection. In addition to these two $d$-connections, two more $d$-connections are defined, the dual and the symmetric $d$-connections. Our space, therefore, admits twelve curvature tensors (corresponding to the four defined $d$-connections), three of which vanish identically. Simple formulae for the nine non-vanishing curvatures tensors are obtained, in terms of the torsion tensors of the canonical $d$-connection. The different $W$-tensors admitted by the space are also calculated. All contractions of the $h$- and $v$-curvature tensors and the $W$-tensors are derived. Second rank symmetric and skew-symmetric tensors, which prove useful in physical applications, are singled out.

研究动机与目标

• 通过在广义黎曼空间中引入方向依赖性，将经典AP-几何扩展为更广泛的几何框架。
• 在拉回丛 π⁻¹(TM) 中定义并研究在经典AP-几何中无对应物的新几何对象。
• 在该广义设定下，推导并分析四种不同d-联络（经典、对偶、对称、黎曼）的曲率张量。
• 为GAP-几何中出现的新几何量（尤其是竖直分量和方向分量）提供物理解释的基础。
• 建立系统化框架，通过迹和收缩恒等式比较和选择物理张量。

提出的方法

• 在拉回丛 π⁻¹(TM) 中建立形式体系，将几何对象视为位置 x 和方向 y 的函数。
• 引入非线性联络 Nᵅᵤ，以定义拉回丛上的水平与竖直分布。
• 将经典d-联络 D 定义为相对于 π-矢量场 λᵢ 所定义的平行化而言，唯一无扭转的黎曼d-联络。
• 对偶联络与对称d-联络的构造方式类比于经典AP-几何，从而完整构成四类d-联络。
• 通过经典d-联络的扭转张量计算每类d-联络的曲率张量，推导出九个非零曲率分量的显式公式。
• 系统计算所有W-张量及其收缩（包括标量迹），并以第5节中定义的基本对称与反对称二阶张量表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在广义黎曼空间的背景下，将经典AP-几何推广以包含方向依赖性？
• RQ2 在拉回丛 π⁻¹(TM) 中，哪些新几何对象出现，而这些对象在经典AP-几何中不存在？
• RQ3 四种不同d-联络（经典、对偶、对称、黎曼）的曲率张量如何与经典d-联络的扭转相关？
• RQ4 在此广义框架中，W-张量及其收缩的完整集合是什么？它们与基本几何张量有何关系？
• RQ5 哪些二阶张量和标量张量最适合用于物理应用？如何系统识别并比较它们？

主要发现

• 推导出九个非零曲率张量，全部显式用经典d-联络的扭转张量表示。
• 十二个曲率张量中的三个（对应经典、对偶和对称d-联络）恒为零，仅剩九个非零分量。
• 所有h-曲率与v-曲率张量的收缩均被计算，并以第5节中定义的基本对称与反对称二阶张量表示。
• 所有四类d-联络的W-张量均被推导，其标量迹与收缩系统地列于表6(a)和表6(b)中。
• 标量W-张量（h-标量与v-标量）被表达为基本张量（如 θ, ω, σ, 和 ψ）的迹的组合。
• 该框架实现了对几何对象的系统比较，所有二阶张量与标量张量均以基本张量表示，有助于识别具有物理意义的量。