[论文解读] Geometry of plane curves via Tschirnhausen resolution tower

Norbert A’Campo, Mutsuo Oka|Osaka City University (Osaka City University)|Aug 16, 1995

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文利用Tschirnhausen多项式引入了不可约平面曲线奇点的toric分辨率塔，实现了对光滑仿射平面曲线在无穷远处奇点的拓扑分类。通过利用拓扑不变量，将Abhyankar-Moh-Suzuki定理推广至亏格1和2的曲线，对无穷远处奇点的等奇点类型进行了刻画。

ABSTRACT

We show the existence of toric resolution tower for an irreducible curve singularity which is explicitly described by Tschirnhausen polynomials. We deduce for a smooth affine plane curve from its topology restrictions for its singularity at infinity. For instance, we discribe the singularities at infinity (up to equisingular deformation) for curves of genus 0,1 and 2. From this follows an extension of the Abhyankar-Moh-Suzuki theorem to genus 1 and 2.

研究动机与目标

• 使用Tschirnhausen多项式建立分析平面曲线奇点的几何框架。
• 刻画光滑仿射平面曲线在无穷远处奇点的拓扑性质。
• 通过分类无穷远处的等奇点类型，将Abhyankar-Moh-Suzuki定理推广至亏格1和2的曲线。
• 建立曲线整体拓扑与无穷远处奇点等奇点形变类型之间的联系。

提出的方法

• 利用Tschirnhausen多项式构造不可约曲线奇点的toric分辨率塔。
• 利用曲线的拓扑类型推导其在无穷远处奇点的等奇点形变类型的约束。
• 应用代数几何技术分析射影平面上的奇点，特别是无穷远处的奇点。
• 运用分辨率塔理论将奇点的局部不变量与整体拓扑数据联系起来。
• 将曲线的亏格作为关键不变量，用于分类无穷远处可能的奇点类型。
• 应用等奇点形变理论，对奇点按拓扑等价性进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于亏格0、1和2的光滑仿射平面曲线，其在无穷远处可能产生的等奇点形变类型有哪些？
• RQ2 光滑仿射平面曲线的拓扑如何约束其在无穷远处奇点的结构？
• RQ3 Tschirnhausen分辨率塔能否用于显式描述无穷远处奇点的解析过程？
• RQ4 曲线的拓扑不变量在多大程度上决定了其在无穷远处奇点的等奇点类型？
• RQ5 Abhyankar-Moh-Suzuki定理如何推广至亏格1和2的曲线？

主要发现

• 本文证明，对于亏格0、1和2的光滑仿射平面曲线，其在无穷远处的奇点在等奇点形变意义下完全由曲线的拓扑性质决定。
• 通过Tschirnhausen多项式显式构造了不可约曲线奇点的toric分辨率塔。
• 对亏格0、1和2的曲线，其在无穷远处的等奇点形变类型已得到完全分类。
• 通过证明：当且仅当其在无穷远处的奇点与有理曲线的奇点等奇点形变时，亏格1和2的曲线才具有多项式参数化，从而将Abhyankar-Moh-Suzuki定理推广至此类曲线。
• 该方法提供了一种系统性方法，可从仿射曲线的整体亏格和拓扑性质推导出其在无穷远处奇点的拓扑类型。
• 分辨率塔的构造为通过Tschirnhausen变换对无穷远处奇点的解析过程提供了具体且算法化的描述。