[论文解读] Geometry of polynomial mappings at infinity via intersection homology

Anna Valette, Guillaume Valette|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文引入了一个与多项式映射 $F: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ 相关的伪流形 $N_F$，该映射的雅可比行列式非零，利用上同调与 $L^\infty$ 上同调分析无穷远处的奇点。研究证明，当且仅当 $N_F$ 的 $L^\infty$ 上同调或交上同调非平凡时，$F$ 是非正则的，从而通过构造的奇异空间的拓扑不变量，为雅可比猜想提供了一种新的微分几何方法。

ABSTRACT

For given polynomial map $F:\C^2 o\C^2$ with nonvanishing jacobian we associate a variety whose homology or intersection homology describes the geometry of singularities at infinity of this map.

研究动机与目标

• 开发一种新的拓扑不变量，以检测非零雅可比行列式多项式映射的非正则性。
• 将 $F: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ 的无穷远处奇点的几何性质与构造的伪流形 $N_F$ 的同调联系起来。
• 建立 $F$ 的非正则性与 $N_F$ 的 $L^\infty$ 上同调或交上同调非平凡性之间的联系。
• 利用奇异空间与度量不变量，对雅可比猜想进行微分几何的重新表述。

提出的方法

• 从 $F$ 的图像及其在 $\mathbb{P}^2 \times \mathbb{C}^2$ 中的闭包构造伪流形 $N_F$，通过移除图像以隔离渐近行为。
• 将 Jelonek 集 $J_F$ 作为渐近集，对于一般有限映射，其为一维复有理曲面。
• 定义正则部分 $\mathrm{Reg}(N_F^R)$，并利用 $L^\infty$ 上同调与最大余维数下交上同调之间的 de Rham 定理，分析其 $L^\infty$ 上同调。
• 应用 Nash 强形变收缩与无穷远处的切锥，分析渐近循环及其可逼近性。
• 利用半代数族与形变收缩，证明无穷远处的非平凡循环蕴含 $N_F^R$ 中的非平凡同调。
• 利用 $N_F$ 是仅含偶余维数层的分层伪流形这一事实，从而在交上同调中实现 Poincaré 对偶性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当多项式映射 $F: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ 的雅可比行列式非零时，其在何时是非正则的？
• RQ2 此类映射的非正则性是否能通过从 $F$ 构造的奇异空间的拓扑不变量来检测？
• RQ3 $N_F^R$ 的正则部分的 $L^\infty$ 上同调如何与 $F$ 的渐近几何相关？
• RQ4 交上同调在捕捉多项式映射无穷远处奇点的拓扑性质中起什么作用？
• RQ5 雅可比猜想能否通过伪流形 $N_F$ 的交上同调或 $L^\infty$ 上同调的消失性来重新表述？

主要发现

• 当且仅当 $R$ 足够大时，$L^\infty$ 上同调 $H^2_\infty(\mathrm{Reg}(N_F^R))$ 非平凡，多项式映射 $F: \mathbb{C}^2 \to \mathbb{C}^2$ 的雅可比行列式非零时为非正则。
• 对于充分大的 $R$，伪流形 $N_F^R := N_F \cap \overline{B}(0,R)$ 是带边界的分层伪流形。
• 若集合 $A$ 在 $F$ 下映射到有界集，则其无穷远处的切锥 $C_\infty(A)$ 包含于 $F$ 的首项形式的零点集中。
• 若 $F$ 是正则的，则 $N_F$ 同胚于 $\mathbb{C}^2$，故 $H_2(N_F) = IH^\overline{t}_2(N_F) = 0$，即在度数 2 上同调平凡。
• 循环 $S^1 \cdot a$ 在 $E'_0 \subset V \cap S^3$ 中可逼近一个链，与该同调类的非平凡性矛盾，从而推出非正则性。
• 关于 $L^\infty$ 形式的 de Rham 定理建立了最大余维数下 $L^\infty$ 上同调与交上同调之间的同构，从而在推论 3.4 中实现关键等价性。