[论文解读] Geometry of positive scalar curvature on complete manifold

Bo Zhu|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows被引用 4

一句话总结

本文研究了完备非紧流形上非负 Ricci 曲率下正标量曲率与几何尺寸之间的相互作用。通过 Gromov-Hausdorff 收敛、Lipschitz 映射技术及曲率估计，本文在三维流形中建立了 Busemann 函数水平集的体积增长界与一致直径控制，证明了即使在非紧致情形下，标量曲率的正性仍限制大尺度几何结构。

ABSTRACT

In this paper, we study the interplay of geometry and positive scalar curvature on a complete, non-compact manifold with non-negative Ricci curvature. In three-dimensional manifold, we prove a minimal volume growth, an estimate of integral of scalar curvature and width. In higher dimensional manifold, we obtain a volume growth with a stronger condition.

研究动机与目标

• 理解在完备非紧致黎曼流形上，非负 Ricci 曲率下正标量曲率如何约束大尺度几何结构。
• 解决 Yau 关于标量曲率积分相对于体积增长的渐近行为的开放问题。
• 在三维流形中，于正标量曲率与非负 Ricci 曲率条件下，建立 Busemann 函数水平集的一致直径界。
• 研究在非紧致情形下，紧致流形结果中所依赖的内蕴半径或共轭半径界是否依然成立。
• 在非负 Ricci 曲率下，给出标量曲率积分的局部估计，其表达式以共轭半径与体积为变量。

提出的方法

• 利用带基点的流形序列的 Gromov-Hausdorff 收敛来分析渐近几何结构。
• 应用从 ℝⁿ 到 𝕊ⁿ 的 Lipschitz 映射构造，其利普希茨常数较小且度数非零，以在标量曲率有界下导出矛盾。
• 运用球面利普希茨界定理，排除无限内蕴半径或无界体积增长的可能性。
• 利用与测地射线相关的 Busemann 函数定义水平集，并通过带基点的 Gromov-Hausdorff 极限分析其直径行为。
• 在三维情形下应用 Colding 与 Minicozzi 的单调性公式与曲率比较技术。
• 建立局部积分估计：在 Ric(g) ≥ 0 条件下，对所有 c ≤ conj(M)，有 ∫_{B(p,R−c)} Sc ≤ n(n−1)(π/c)² vol(B(p,R))。

实验结果

研究问题

• RQ1 在完备非紧致流形上，若标量曲率为正且 Ricci 曲率为非负，Busemann 函数的水平集直径是否具有统一上界？
• RQ2 在完备非紧致流形上，若标量曲率为正且 Ricci 曲率为非负，其体积增长是否可被半径的某次幂上界控制？
• RQ3 在非紧致情形下，若标量曲率为正且 Ricci 曲率为非负，内蕴半径是否仍具有统一上界？
• RQ4 在非负 Ricci 曲率下，是否存在以体积与共轭半径为变量的标量曲率积分的局部上界？
• RQ5 标量曲率积分相对于体积增长的渐近行为是否满足 Yau 所猜想的 limsup 条件？

主要发现

• 在三维完备流形中，若 Ricci 曲率为非负且标量曲率 Sc ≥ 2，则任意 Busemann 函数水平集的直径具有统一上界。
• 在正标量曲率与非负 Ricci 曲率下，体积增长满足 limsup_{R→∞} vol(B(p,R))/R^{n−1} < ∞，表明在高维情形下体积增长为次线性。
• 对于具有两个端点的三维流形，其几何结构同构于 𝕊²×ℝ，且投影函数的水平集具有统一有界直径。
• 在正标量曲率与非负 Ricci 曲率下，内蕴半径有上界 π，将最大内蕴半径定理推广至非紧致情形。
• 证明了局部估计：在 Ric(g) ≥ 0 条件下，对所有 c ≤ conj(M)，有 ∫_{B(p,R−c)} Sc ≤ n(n−1)(π/c)² vol(B(p,R))。
• 通过利用到球面的 Lipschitz 映射导出矛盾，本文排除了存在满足 Sc ≥ n(n−1)、Ric ≥ 0 且内蕴半径无限的完备非紧致流形的可能性。