[论文解读] Geometry of quadratic polynomials: moduli, rigidity and local connectivity

Mikhail Lyubich|arXiv (Cornell University)|Sep 4, 1993

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 26

一句话总结

本文通过证明动力平面上基本环状区域模量的复先验估计，建立了某些无限可重正则化二次多项式对应的曼德勃罗集和朱利亚集的局部连通性。利用基于模量线性增长与组合刚性的下拉论证，本文在有界组合旋转数和高组合类型假设下证明了拓扑刚性与MLC，将沙勒夫的成果拓展至有界几何情形之外。

ABSTRACT

A while ago MLC (the conjecture that the Mandelbrot set is locally connected) was proven for quasi-hyperbolic points by Douady and Hubbard, and for boundaries of hyperbolic components by Yoccoz. More recently Yoccoz proved MLC for all at most finitely renormalizable parameter values. One of our goals is to prove MLC for some infinitely renormalizable parameter values. Loosely speaking, we need all renormalizations to have bounded combinatorial rotation number (assumption C1) and sufficiently high combinatorial type (assumption C2). For real quadratic polynomials of bounded combinatorial type the complex a priori bounds were obtained by Sullivan. Our result complements the Sullivan's result in the unbounded case. Moreover, it gives a background for Sullivan's renormalization theory for some bounded type polynomials outside the real line where the problem of a priori bounds was not handled before for any single polynomial. An important consequence of a priori bounds is absence of invariant measurable line fields on the Julia set (McMullen) which is equivalent to quasi-conformal (qc) rigidity. To prove stronger topological rigidity we construct a qc conjugacy between any two topologically conjugate polynomials (Theorem III). We do this by means of a pull-back argument, based on the linear growth of moduli and a priori bounds. Actually the argument gives the stronger combinatorial rigidity which implies MLC.

研究动机与目标

• 证明某些无限可重正则化二次多项式对应的曼德勃罗集（MLC）的局部连通性。
• 为这类映射在动力平面上的基本环状区域模量建立复先验估计。
• 在有界组合类型与旋转数条件下，证明实二次多项式的拓扑刚性（从而也是拟共形刚性）。
• 将沙勒夫的先验估计拓展至有界几何情形之外，涵盖部分无界组合类型。
• 通过结合有界几何与高模量区域，提供实二次多项式刚性猜想的新证明。

提出的方法

• 证明实缩放衰减定理的复版本，表明动力平面上主嵌套环状区域的模量线性增长。
• 利用模量的线性增长，推导出在假设C1（有界组合旋转数）与C2（高组合类型）下，无限可重正则化映射的复先验估计（模量的下界）。
• 通过依赖模量线性增长与先验估计的下拉论证，构造拓扑共轭多项式之间的拟共形共轭。
• 应用组合刚性论证，从相同假设下推导出朱利亚集与曼德勃罗集的局部连通性。
• 在实二次族中使用二分法：要么模量较大（导致先验估计），要么几何本质上是有界的（可应用沙勒夫的有界几何论证）。
• 通过混合构造，结合有界几何中的qc伪共轭与高模量区域中的下拉方法，在不同重正则化层级切换使用。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，无限可重正则化二次多项式的曼德勃罗集是局部连通的？
• RQ2 能否为具有无界组合类型的无限可重正则化映射建立复先验估计？
• RQ3 在重正则化过程中，朱利亚集的局部连通性是否可由模量线性增长与先验估计推出？
• RQ4 能否在有界几何范围之外，证明实二次多项式的拓扑刚性？
• RQ5 如何通过统一有界几何与高模量区域，重新证明实二次族的刚性猜想？

主要发现

• 在无先前假设下，已确立模量在线性嵌套环状区域中的线性增长作为二次多项式的一般性质。
• 在假设C1（有界组合旋转数）与C2（高组合类型）下，证明了无限可重正则化映射的复先验估计。
• 在相同假设下，确立了朱利亚集与曼德勃罗集的局部连通性，将MLC推广至此前未知的情形。
• 在相同条件下，证明了实二次多项式的拓扑刚性（从而也是拟共形刚性），并为此提供了刚性猜想的新证明。
• 在实二次族中确立了二分法：要么模量较大（导致先验估计），要么几何本质上是有界的（允许应用沙勒夫的有界几何论证）。
• 通过在有界几何中使用qc伪共轭与在高模量区域使用下拉方法，在不同层级切换，成功构造了拓扑共轭映射之间的拟共形共轭。