[论文解读] Geometry of rank tests

Jason Morton, Lior Pachter+3 more|ArXiv.org|May 7, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文提出了一套非参数统计中秩检验的几何与代数框架，将秩检验建模为由排列上统计量诱导的对称群 $S_n$ 的划分。研究证明凸秩检验对应于粗化辫子排列的多面体扇形，且次模秩检验与排列多面体的闵可夫斯基和分量一一对应，图模型秩检验则与图关联多面体一一对应，从而可通过分配格与线性扩展枚举实现高效计算。

ABSTRACT

We study partitions of the symmetric group which have desirable geometric properties. The statistical tests defined by such partitions involve counting all permutations in the equivalence classes. These permutations are the linear extensions of partially ordered sets specified by the data. Our methods refine rank tests of non-parametric statistics, such as the sign test and the runs test, and are useful for the exploratory analysis of ordinal data. Convex rank tests correspond to probabilistic conditional independence structures known as semi-graphoids. Submodular rank tests are classified by the faces of the cone of submodular functions, or by Minkowski summands of the permutohedron. We enumerate all small instances of such rank tests. Graphical tests correspond to both graphical models and to graph associahedra, and they have excellent statistical and algorithmic properties.

研究动机与目标

• 开发一个基于代数组合学与几何学的秩检验数学理论，其动机源于基因表达分析中的应用。
• 将秩检验表征为由排列上统计量诱导的对称群 $S_n$ 的划分。
• 将凸秩检验识别为对应于粗化辫子排列的多面体扇形及半图模型的检验。
• 证明次模秩检验与 $(n-1)$-维排列多面体的闵可夫斯基和分量之间存在双射关系。
• 建立图模型秩检验、图关联多面体与图上管状结构之间的等价性，从而实现 p 值的高效计算。

提出的方法

• 将秩检验建模为映射 $\tau: S_n \to T$，其中 $T$ 为统计量集合，依据 $\tau(\pi)$ 值相等将 $S_n$ 划分为等价类。
• 通过一个公理定义预凸秩检验，确保任意两个等价排列的交集的线性扩展仍属于同一类。
• 将预凸秩检验的每一类表示为 $[n]$ 上偏序集 $P$ 的线性扩展 $\mathcal{L}(P)$ 的集合。
• 利用偏序集的序理想分配格计算线性扩展数量，从而得到每类测试的大小，即 p 值。
• 对于图模型秩检验，利用图 $G$ 上管状结构的 $G$-树表示，通过多项式系数递归计算线性扩展数量。
• 通过启发式方法与优化数据结构实现线性扩展的高效枚举算法，相关软件可在 www.bio.math.berkeley.edu/ranktests/ 获取。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将非参数统计中的秩检验形式化为几何与组合对象？
• RQ2 何种条件可确保秩检验在排列空间中对应于凸区域？
• RQ3 次模函数与秩检验的几何结构及多面体扇形之间有何关系？
• RQ4 图模型与秩检验通过图关联多面体的精确联系是什么？
• RQ5 如何高效计算偏序集的线性扩展数量，以用于秩检验的 p 值估计？

主要发现

• 对 $n \leq 5$ 的所有凸秩检验完成分类，表明其与粗化辫子排列的多面体扇形之间存在完全对应关系。
• 次模秩检验与 $(n-1)$-维排列多面体的闵可夫斯基和分量之间存在双射关系，提供了几何表征。
• 图模型秩检验等价于图关联多面体 $\Delta_G$ 的面结构，测试类的数量由 $G$-Catalan 数给出。
• 对于路径图，类的数量为第 $n$ 个 Catalan 数 $\frac{1}{n+1}\binom{2n}{n}$；对于环图，其数量为 $\binom{2n-2}{n-1}$。
• 偏序集 $P$ 的线性扩展数量可通过其序理想分配格计算，该计算为 #P-完全问题，但可通过高效启发式方法求解。
• 对于基于管状结构的秩检验，测试类大小存在递归公式：$|\tau^{-1}(\mathbf{T})| = \binom{\sum |\mathbf{T}^i|}{|\mathbf{T}^1|,\ldots,|\mathbf{T}^k|} \prod |\tau^{-1}(\mathbf{T}^i)|$。