[论文解读] Geometry of representation spaces in SU(2)

Julien Marché|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 17被引用 3

一句话总结

本文通过扭上同调、规范理论和陈-西蒙斯理论，研究了曲面与3-流形的 SU(2) 表示空间的微分几何与辛几何。通过带有马蒂普莱克特修正的玻尔-索末菲环，构建了曲面上平联络模空间的几何量子化，推导出参数化量子希尔伯特空间的量子 Clebsch-Gordan 条件，并将其与共形场论和拓扑量子场论联系起来。

ABSTRACT

These notes of a course given at IRMA in April 2009 cover some aspects of the representation theory of fundamental groups of manifolds of dimension at most 3 in compact Lie groups, mainly $\\su$. We give detailed examples, develop the techniques of twisted cohomology and gauge theory. We review Chern-Simons theory and describe an integrable system for the representation space of a surface. Finally, we explain some basic ideas on geometric quantization. We apply them to the case of representation spaces by computing Bohr-Sommerfeld orbits with metaplectic correction.

研究动机与目标

• 通过扭上同调与规范理论，为曲面与3-流形的 SU(2) 表示空间建立几何框架。
• 通过陈-西蒙斯理论，描述曲面上平 SU(2) 连接模空间的辛结构。
• 通过拉格朗日子纤维化与马蒂普莱克特修正，构建模空间的几何量子化。
• 在模空间中识别玻尔-索末菲环，并通过 Clebsch-Gordan 条件将其与量子不变量联系起来。
• 通过将几何量子化与共形块及链多项式联系起来，为拓扑量子场论（TQFT）奠定基础。

提出的方法

• 使用扭上同调，通过基本群以伴随表示为系数的上同调分析表示空间的切空间。
• 应用规范理论，将主 SU(2)-丛上的平联络解释为陈-西蒙斯泛函的临界点。
• 利用陈-西蒙斯泛函及其单值性质，在模空间上构造一个预量子线丛。
• 通过曲面的裤分解关联的迹函数，在模空间上定义一个拉格朗日子纤维化。
• 通过识别玻尔-索末菲叶与计算半形式丛，实现带有马蒂普莱克特修正的几何量子化。
• 计算框架丛中路径的单值，以确定马蒂普莱克特结构，并对量子化态进行分类。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过扭上同调与规范场论方法描述曲面上平 SU(2) 连接模空间？
• RQ2 曲面表示空间的辛结构是什么？它如何从陈-西蒙斯理论中产生？
• RQ3 在模空间中，哪些拉格朗日子流形在带有马蒂普莱克特修正的几何量子化下对应于玻尔-索末菲环？
• RQ4 量子 Clebsch-Gordan 条件如何从曲面的拓扑与几何数据中导出？
• RQ5 几何量子化能否通过 Verlinde 公式与 BKS 配对与 TQFT 及共形场论联系起来？

主要发现

• 亏格 g ≥ 2 的曲面上平 SU(2) 连接模空间可通过与裤分解相关的迹函数实现拉格朗日子纤维化。
• 模空间中的玻尔-索末菲环由满足量子 Clebsch-Gordan 条件的元组 (σiπ/K)i∈I 参数化：σi ≤ σj + σk，σi + σj + σk 为奇数，且 σi + σj + σk ≤ 2K，其中 σi ∈ [1, K−1]。
• 模空间的几何量子化产生一个有限维希尔伯特空间，其维数与 Verlinde 公式一致，证实与共形场论的一致性。
• 马蒂普莱克特修正确保了对量子化态的正确识别，路径在 GL(C1) 中的单值非平凡，证实了金属线结构的非平凡性。
• 通过陈-西蒙斯泛函构造预量子丛，提供了与 Reidemeister 扭转和平坦几何相关的自然联络。
• 不同裤分解对应的量子化之间的 BKS 配对预计为酉同构，表明其背后存在一致的 TQFT 结构。