[论文解读] Geometry of symmetric determinantal loci

Shinobu Hosono, Hiromichi Takagi|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2015

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文研究了对称行列式簇 $\sigma_r \subset \mathbb{P}(\mathsf{S}^2 V^*)$ 及其偶数 $r$ 的双重覆盖 $\mathcal{T}_r$ 的代数几何性质，证明了 $\mathcal{T}_r$ 是一个维数为 $\frac{(2n+3-r)r - 2}{2}$ 的 $\mathbb{Q}$-因子化法诺簇，其 Picard 数为 1，法诺指标为 $\frac{r(n+1)}{2}$，且仅有可去奇点；并证明了通过一系列翻转与收缩，$\mathcal{T}_4$ 与 $\mathrm{G}(n-1,V)$ 中圆锥曲线的 Hilbert 模间存在双有理等价关系。

ABSTRACT

We study algebro-geometric properties of determinantal loci of (n+1)th symmetric matrices and also their double covers for even ranks. Their singularities, Fano indices and birational geometries are studied in general. The double covers of symmetric determinantal loci of rank four are studied with special interest by noting their relation to the Hilbert schemes of conics on Grassmannians.

研究动机与目标

• 建立对称行列式簇 $\sigma_r$ 及其偶数 $r$ 的双重覆盖 $\mathcal{T}_r$ 的基础代数几何性质。
• 利用极小模型程序技术，分析一般 $n$ 下 $\sigma_r$ 与 $\mathcal{T}_r$ 的奇点、法诺指标与双有理几何。
• 澄清 $\sigma_4$ 的双重覆盖 $\mathcal{T}_4$ 与 $\mathrm{G}(n-1,V)$ 中圆锥曲线 Hilbert 模间的关系，尤其针对 $n \geq 4$ 的情形。
• 为同调投影对偶性（HPD）在 $\sigma^*_{n+2-r}$ 与 $\mathcal{T}_r$ 之间的关系提供几何框架，推广已知的卡拉比-丘对。
• 为后续关于 $\sigma^*_2$ 与 $\mathcal{T}_4$ 的导出范畴计算奠定代数几何基础。

提出的方法

• 定义 $\sigma_r \subset \mathbb{P}(\mathsf{S}^2 V^*)$ 为秩至多为 $r$ 的 $(n+1)\times(n+1)$ 对称矩阵的集合，由 $(r+1)\times(r+1)$ 子式定义。
• 构造以 $\sigma_{r-1}$ 为分支判别集的双重覆盖 $\mathcal{T}_r \to \sigma_r$，并证明其为 Picard 数为 1 的 $\mathbb{Q}$-因子化法诺簇。
• 利用四秩二次型中 $(n-2)$-平面的几何结构，通过与 $\wedge^{n-1}V$ 中的 $3$-平面的对应关系，将 $\mathcal{T}_4$ 识别为 $\mathrm{G}(n-1,V)$ 中圆锥曲线的 Hilbert 模间。
• 建立包含 $\mathcal{Y}_3 = \mathrm{G}(3, \wedge^2 \mathfrak{Q})$、$\widetilde{\mathcal{Y}}$ 与 $\overline{\mathcal{Y}}'$ 的双有理映射交换图，其中 $\mathcal{Y}_3 \to \overline{\mathcal{Y}}'$ 为小收缩，纤维同构于 $\mathbb{P}^{n-3}$。
• 应用极小模型程序，证明 $\mathcal{Y}_3 \dashrightarrow \widetilde{\mathcal{Y}}$ 为（反）翻转，用于解析该小收缩。
• 利用普吕克坐标与对称矩阵分解，将 $\mathbb{P}(\mathsf{S}^2 V_4 \oplus \mathsf{S}^2 V_4^*)$ 上的 $[v_{ij}, w_{kl}]$ 与 $\mathbb{P}(\wedge^3(\wedge^2 V_4))$ 中的 $p_{IJK}$ 关联，并通过不可约分解推导出普吕克理想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称行列式簇 $\sigma_r$ 及其偶数 $r$ 的双重覆盖 $\mathcal{T}_r$ 的奇点、法诺指标与双有理几何性质为何？
• RQ2 $\sigma_4$ 的双重覆盖 $\mathcal{T}_4$ 与 $\mathrm{G}(n-1,V)$ 中圆锥曲线的 Hilbert 模间有何关系？
• RQ3 $\mathcal{T}_4$ 的双有理几何是否可通过一系列翻转与收缩来描述？其结果的代数结构如何？
• RQ4 普吕克坐标 $p_{IJK}$ 与对称矩阵 $v$ 和 $w$ 的元素之间存在何种精确代数关系？
• RQ5 $\sigma^*_{n+2-r}$ 与 $\mathcal{T}_r$ 之间的对偶性是否满足同调投影对偶性（HPD）的条件？其如何推广已知的卡拉比-丘对？

主要发现

• $\mathcal{T}_r$ 是一个维数为 $\frac{(2n+3-r)r - 2}{2}$ 的 $\mathbb{Q}$-因子化法诺簇，Picard 数为 1，法诺指标为 $\frac{r(n+1)}{2}$，且仅有可去奇点。
• $\mathcal{T}_4$ 与 $\mathrm{G}(n-1,V)$ 中圆锥曲线的 Hilbert 模 $\mathcal{Y}_0$ 双有理等价，其关系由包含小收缩 $\mathcal{Y}_3 \to \overline{\mathcal{Y}}'$ 与（反）翻转 $\mathcal{Y}_3 \dashrightarrow \widetilde{\mathcal{Y}}$ 的交换图描述。
• 小收缩 $\mathcal{Y}_3 \to \overline{\mathcal{Y}}'$ 具有非平凡纤维，同构于 $\mathbb{P}^{n-3}$，且（反）翻转可解析该奇点。
• $\mathrm{G}(3,6)$ 的普吕克理想 $I_G$ 由关系 $|v_{IJ}| - \epsilon_{I\check{I}}\epsilon_{J\check{J}}|w_{\check{I}\check{J}}|$ 与 $v.w - d\cdot \mathrm{id}_4$ 的元素生成，其中 $d^2 = \det w$。
• 有 $\det v = \det w$，且 $v.w = \pm \sqrt{\det w} \cdot \mathrm{id}_4$，这意味着 $\mathrm{rk}\,v \neq 3$ 且 $\mathrm{rk}\,w \neq 3$，且 $\mathrm{rk}\,v = 2$ 当且仅当 $\mathrm{rk}\,w = 2$。
• 对称矩阵分解表明 $v_{ij}$ 与 $w_{kl}$ 可表示为具有反对称指标的 $p_{IJK}$ 之和，而逆关系使得普吕克关系可表示为 $v$ 与 $w$ 的形式。