[论文解读] Geometry of symmetric group-based models

Dimitra Kosta, Kaie Kubjas|arXiv (Cornell University)|May 25, 2017

14-3-3 protein interactions参考文献 20被引用 3

一句话总结

本文為對稱群基演化樹模型發展了一套代數幾何框架，利用數值代數幾何分析最大似然估計（MLE）與嵌入問題。結果顯示，對於三叉樹上的CFN模型，由於參數爆發，MLE可能不存在，此結果僅透過代數方法才能發現。

ABSTRACT

Phylogenetic models have polynomial parametrization maps. For symmetric group-based models, Matsen studied the polynomial inequalities that characterize the joint probabilities in the image of these parametrizations. We employ this description for maximum likelihood estimation via numerical algebraic geometry. In particular, we explore an example where the maximum likelihood estimate does not exist, which would be difficult to discover without using algebraic methods. We also study the embedding problem for symmetric group-based models, i.e. we identify which mutation matrices are matrix exponentials of rate matrices that are invariant under a group action.

研究动机与目标

• 使用多項式不等式來描述對稱群基模型中聯合葉子機率的半代數集。
• 利用數值代數幾何方法研究演化樹模型中最大似然估計（MLE）的存在性與計算方法。
• 透過識別哪些突變矩陣是群不變速率矩陣的矩陣指數，解決嵌入問題。
• 提供一個計算框架，用於檢測演化樹模型中MLE的不存在性，特別是在非緊緻參數空間中。

提出的方法

• 採用Matsen的傅立葉座標描述，推導出定義對稱群基模型中生物學上有意義的葉子機率區域的多項式不等式。
• 將嚴格不等式放寬以包含邊界成分，並使用數值代數幾何工具（PHCpack, HCPack）計算似然函數的所有複數臨界點。
• 應用演算法1與同倫延拓，計算出44個邊界成分上的167個臨界點，包含Zariski閉包與低維度層次。
• 透過評估對數似然值並檢查相對放寬與更嚴格的不等式約束（包括基於路徑依賴性的約束）來識別MLE。
• 利用速率矩陣及其指數的參數化方法，測試臨界點是否位於模型的像集中，特別是在參數趨於無窮大時的情形。
• 將G-可嵌入的突變矩陣特徵化為對稱、群不變，且為群不變速率矩陣指數的矩陣，推廣了CFN與Kimura 3P模型的結果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什麼條件下，對稱群基模型中的最大似然估計會不存在，並如何透過代數方法檢測？
• RQ2 如何利用傅立葉座標與多項式不等式推導聯合葉子機率的半代數描述？
• RQ3 對稱群基模型中似然函數的臨界點結構為何？它們與模型邊界成分有何關係？
• RQ4 哪些對稱、群不變的突變矩陣可表示為群不變速率矩陣的矩陣指數？其代數特徵為何？

主要发现

• 對於三叉樹$K_{1,3}$上的CFN模型，當資料向量為$(100,11,85,55,56,7,75,8)$時，MLE不存在，因為全域最大值在某一參數趨於無窮大時達成。
• 似然函數在44個理想上共有167個複數臨界點，其中97個為實數解，49個為正解，但當$q_{ijk} = 0$時，所有頂尖候選解均不滿足所有必要不等式。
• 對數似然值最高的兩個解為$-0.0729$，由兩個對稱解達成，但兩者在某些$q_{ijk} = 0$時均違反路徑依賴不等式$q_{000}q_{101} - q_{100}q_{001} \neq 0$，表示它們不在模型的像集中。
• 第七個臨界點的對數似然值為$-0.0737$，對應參數化中某一邊時間趨於無窮大（$ ilde{\theta}^{(e_2)} = (-\tilde{\theta}^{(e_2)}, \tilde{\theta}^{(e_2)}) \to (-\infty, \tilde{\theta}^{(e_2)})$），確認MLE不存在。
• CFN模型在$K_{1,3}$上的Zariski閉包的次數為92，與Hosten等人計算的ML次數一致，驗證了代數框架的正確性。
• 本研究顯示，標準數值優化可能忽略MLE的不存在性，強調在非緊緻演化樹模型中，必須使用代數方法進行嚴謹分析。