[论文解读] Geometry of the arithmetic site

Alain Connes, Caterina Consani|arXiv (Cornell University)|Feb 19, 2015

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文引入了算术空间——一个从正整数乘法半群到集合的函子范畴的拓扑斯，配备特征一结构层，证明其在热带实半域上的点几何地实现了Q的阿代尔类空间模其最大紧致子群。这些点上的弗罗贝尼乌斯作用与阿代尔类空间上R+的乘法作用相匹配，通过类似哈塞-韦伊公式的构造，得到完整的黎曼ζ函数。

ABSTRACT

We introduce the Arithmetic Site: an algebraic geometric space deeply related to the non-commutative geometric approach to the Riemann Hypothesis. We prove that the non-commutative space quotient of the adele class space of the field of rational numbers by the maximal compact subgroup of the idele class group, which we had previously shown to yield the correct counting function to obtain the complete Riemann zeta function as Hasse-Weil zeta function, is the set of geometric points of the arithmetic site over the semifield of tropical real numbers. The action of the multiplicative group of positive real numbers on the adele class space corresponds to the action of the Frobenius automorphisms on the above geometric points. The underlying topological space of the arithmetic site is the topos of functors from the multiplicative semigroup of non-zero natural numbers to the category of sets. The structure sheaf is made by semirings of characteristic one and is given globally by the semifield of tropical integers. In spite of the countable combinatorial nature of the arithmetic site, this space admits a one parameter semigroup of Frobenius correspondences obtained as sub-varieties of the square of the site. This square is a semi-ringed topos whose structure sheaf involves Newton polygons. Finally, we show that the arithmetic site is intimately related to the structure of the (absolute) point in non-commutative geometry.

研究动机与目标

• 构建代数几何中一个能捕捉Q的阿代尔类非交换空间的几何对象，从而为黎曼ζ函数提供几何解释。
• 定义一个具有特征一结构层的拓扑斯理论框架，以模拟有限域ζ函数在q→1极限下的情形。
• 建立R+×在阿代尔类空间上的作用与热带半域R+max上几何点的弗罗贝尼乌斯自同态之间的对应关系。
• 证明算术空间允许一个单参数的弗罗贝尼乌斯对应族，从而为黎曼猜想提供非交换几何方法。
• 通过其 stalks 产生的C*-代数的K-理论，将算术空间与非交换几何中“绝对点”的概念联系起来。

提出的方法

• 将底层拓扑斯基定义为从乘法半群N×到集合范畴的函子范畴，记作ŝN×。
• 在该拓扑斯上赋予一个特征一的半环结构层Zmax = (Z ∪ {−∞}, max, +)，通过弗罗贝尼乌斯自同态作用。
• 将算术空间在R+max上的几何点实现为A_Q / Q×模最大紧致子群ĤZ×的作用。
• 建立R+max上弗罗贝尼乌斯自同态Frλ(x) = x^λ与阿代尔类空间上R+×乘法作用之间的对应关系。
• 通过布尔半环B上的张量积Zmin ⊗B Zmin，构造算术空间的平方作为半环拓扑斯，其结构涉及牛顿多边形。
• 将弗罗贝尼乌斯对应定义为该平方的子概形，并通过约化结构Conv≥(Z×Z)研究其复合，从而与黎曼ζ函数的动力学相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 Q的阿代尔类空间模最大紧致子群能否被实现为一个明确定义的代数几何对象的几何点集合？
• RQ2 R+×在阿代尔类空间上的作用是否对应于特征一结构下拓扑斯上某点的几何弗罗贝尼乌斯作用？
• RQ3 能否通过具有特征一结构层的拓扑斯，将哈塞-韦伊公式推广至q→1的极限情形？
• RQ4 弗罗贝尼乌斯对应如何在算术空间的平方中出现，其复合法则为何？
• RQ5 算术空间在非交换几何框架下对黎曼猜想的作用是什么，特别是其与“绝对点”的关系如何？

主要发现

• 算术空间在R+max上的几何点集合，通过自然同构与A_Q / Q×模ĤZ×作用的商空间相对应，ĤZ×为idèle类群的最大紧致子群。
• 弗罗贝尼乌斯自同态Frλ在这些点上的作用，精确对应于R+×在阿代尔类空间上的乘法作用。
• 算术空间允许一个单参数的弗罗贝尼乌斯对应半群，其作为其平方的子概形被实现，其构造基于半环拓扑斯中牛顿多边形的结构。
• 算术空间的约化平方携带一个半环拓扑斯结构，其结构层为Conv≥(Z×Z)，编码了弗罗贝尼乌斯对应的复合。
• 在ℓ²(Z)上紧算子C*-代数的 stalks 视为ŝN×中的层时，产生无限可分的拟阵C*-代数，其K0-群对拓扑斯的点（模同构）进行分类。
• 算术空间为阿代尔类的非交换空间提供了几何实现，将黎曼ζ函数作为q→1极限下的哈塞-韦伊ζ函数嵌入其中。