[论文解读] Geometry of the Borel -- de Siebenthal Discrete Series

Bent Ørsted, Joseph A. Wolf|ArXiv.org|Jan 28, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 22被引用 7

一句话总结

本文通过余伴随轨道、全纯向量丛和上同调，几何地构造了具有紧 Cartan 子群的非埃尔米特型实简单李群的 Borel–de Siebenthal 离散系列表示。它给出了完整的 $K_0$-型分解，并证明了 $K_1$-容许性，通过复微分几何与谱序列，将此前在全纯与四元数离散系列情况下的结果推广至更一般情形。

ABSTRACT

Let $G_0$ be a connected, simply connected real simple Lie group. Suppose that $G_0$ has a compact Cartan subgroup $T_0$, so it has discrete series representations. Relative to $T_0$ there is a distinguished positive root system $Δ^+$ for which there is a unique noncompact simple root $ν$, the "Borel -- de Siebenthal system". There is a lot of fascinating geometry associated to the corresponding "Borel -- de Siebenthal discrete series" representations of $G_0$. In this paper we explore some of those geometric aspects and we work out the $K_0$--spectra of the Borel -- de Siebenthal discrete series representations. This has already been carried out in detail for the case where the associated symmetric space $G_0/K_0$ is of hermitian type, i.e. where $ν$ has coefficient 1 in the maximal root $μ$, so we assume that the group $G_0$ is not of hermitian type, in other words that $ν$ has coefficient 2 in $μ$. \medskip Several authors have studied the case where $G_0/K_0$ is a quaternionic symmetric space and the inducing holomorphic vector bundle is a line bundle. That is the case where $μ$ is orthogonal to the compact simple roots and the inducing representation is 1--dimensional.

研究动机与目标

• 将离散系列表示的几何与表示论理解从全纯与四元数情形推广至更一般情况。
• 为非埃尔米特性群（其中最大根中非紧简根的系数为 2）的 Borel–de Siebenthal 离散系列提供几何构造，利用余伴随轨道与全纯向量丛。
• 通过上同调方法与复旗流形上的全纯向量丛，计算这些表示的 $K_0$-谱。
• 为 $K_0$ 的一个小子群 $K_1$ 建立 $K_1$-容许性，从而实现类似全纯离散系列的可管理分支律。
• 对椭圆余伴随轨道的结构进行分类，其为复旗流形中的开 $G_0$-轨道，明确描述其最大紧致子簇与全纯法丛。

提出的方法

• 利用复微分几何与上同调群，将表示实现为复旗流形上向量丛的全纯截面空间。
• 分析椭圆余伴随轨道在复旗流形中作为开 $G_0$-轨道的几何结构，识别其最大紧致子簇为紧致赫米特对称空间。
• 应用谱序列论证计算上同调群，通过诱导表示中的 $K$-有限向量识别 $K_0$-型。
• 运用预齐次向量空间及其相对不变量的理论，描述余伴随轨道及其法丛的结构。
• 使用 $K_0$-型重数的公式：$\dim(V_{\delta}^* \otimes M)^{Q \cap K}$，其中 $M = S^m(V^*)$ 且 $m \in \mathbb{N}$，以计算分解。
• 应用 Eastwood 与 Wolf 关于有限维表示对偶结果，识别该系列的上同调实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用余伴随轨道与全纯向量丛，对非埃尔米特性群的 Borel–de Siebenthal 离散系列表示实现几何构造？
• RQ2 Borel–de Siebenthal 离散系列的完整 $K_0$-型分解是什么？其与全纯离散系列相比有何异同？
• RQ3 与这些表示相关的余伴随轨道的最大紧致子簇与全纯法丛的结构如何？
• RQ4 $K_1$-容许性如何产生？其对子群分支律意味着什么？
• RQ5 预齐次向量空间的相对不变量在该系列的解析延拓与奇异性行为中起何作用？

主要发现

• Borel–de Siebenthal 离散系列的 $K_0$-型通过上同调群 $H^s(Y, \mathcal{O}(\mathbb{L}_{-k}))$ 完全描述，其中 $Y$ 为最大紧致子簇。
• 最低 $K_0$-型的最高权为 $\Lambda = -k\nu^* + 2\rho_{\mathfrak{k}/\mathfrak{l}}$，与标量四元数情形的无穷小特征标公式一致。
• 对于 $K_0$ 的一个子群 $K_1 \subset K_0$，这些表示是 $K_1$-容许的，且每个 $K_1$-型的重数有限。
• 余伴随轨道是复旗流形中的开 $G_0$-轨道，其最大紧致子簇为紧致赫米特对称空间。
• 最大紧致子簇的全纯法丛是一个具有相对不变量的预齐次向量空间，对理解该系列的延拓至关重要。
• 对于 $E_8$ 且 $K$ 为 $D_8$ 型的情形，法丛维数为 64，并存在一个 8 次的相对不变量，表明其具有丰富的几何结构。