[论文解读] Geometry of Topological Defects of Two-dimensional Sigma Models

Anton Kapustin, Kevin Setter|arXiv (Cornell University)|Sep 29, 2010

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过引入‘拓扑双 brane’——即由子流形 $Y \subseteq X \times \widehat{X}$ 与 $Y$ 上的闭 2-形式 $F$ 构成的对 $(Y, F)$——建立了一个二维 (0,1) 与 (0,2) 超对称 sigma 模型中拓扑缺陷的几何框架，该框架保持超共形对称性。利用推广几何，本文表明此类缺陷由 $X \times \widehat{X}$ 上的推广度量对 $F$-旋转的推广切丛的稳定化所刻画，将 A-brane 类比推广至中性签名目标空间。

ABSTRACT

A topological defect separating a pair of two-dimensional CFTs is a codimension one interface along which all components of the stress-energy tensor glue continuously. We study topological defects of the bosonic, (0,1)- and (0,2)-supersymmetric sigma models in two dimensions. We find a geometric classification of such defects closely analogous to that of A-branes of symplectic manifolds, with the role of symplectic form played instead by a neutral signature metric. Alternatively, we find a compact description in terms of a generalized metric on the product of the targets. In the (0,1) case, we describe the target space geometry of a bundle in which the fermions along the defect take values. In the (0,2) case, we describe the defects as being simultaneously A-branes and B-branes.

研究动机与目标

• 刻画在 (0,1) 与 (0,2) 二维 sigma 模型中因费米子边界条件而无法一致定义边界时的超对称缺陷。
• 确定缺陷世界体积 $Y \subseteq X \times \widehat{X}$ 与线丛联络 $F$ 的几何条件，以保持超共形对称性。
• 通过推广几何将推广 A-brane 构造从辛几何推广至中性签名目标空间。
• 识别特殊缺陷类，如‘等距图’与‘半对乘 Kähler’缺陷，分别作为拉格朗日与全空间 A-brane 的类比。
• 探讨此类缺陷在实现不同世界面域上 sigma 模型理论之间对偶性中的作用。

提出的方法

• 将缺陷定义为一维子流形 $D$，在该子流形上，$\Sigma$ 与 $\widehat{\Sigma}$ 上的两个不同共形场论（CFT）通过双 brane $(Y, F)$ 粘合，其中 $Y \subseteq X \times \widehat{X}$ 为子流形，$F$ 为闭 2-形式。
• 在 $X \times \widehat{X}$ 上使用中性签名度量 $G = g \oplus -\widehat{g}$，将 A-brane 条件推广至相对于 $G$ 的共 isotropic 子流形。
• 应用 Hitchin 的推广几何，将拓扑双 brane 特征化为：$Y$ 的 $F$-旋转推广切丛在 $X \times \widehat{X}$ 上的推广度量下被稳定化。
• 引入丛 $\mathcal{R}_+ = (TY)^\perp \oplus \widetilde{\mathcal{R}}_+$，其中 $\widetilde{\mathcal{R}}_+$ 为 $\widetilde{G}^{-1}\widetilde{F}$ 的 +1 特征空间，并证明其在拉回度量下为拉格朗日子丛。
• 通过 Koszul 公式建立可积性条件，证明当 $dF = 0$ 时，$\mathcal{R}_+$ 关于 $TY$ 为 $\nabla$-平行。
• 通过施加 $R$-矩阵条件 $R^I_J \psi_+^J = \psi_+^I$ 引入费米子场，并证明费米子变分项 $G_{IJ}\psi_+^I \delta^{\rm cov}\psi_+^J$ 因 $\mathcal{R}_+$ 的各向同性而消失。

实验结果

研究问题

• RQ1 子流形 $Y \subseteq X \times \widehat{X}$ 与闭 2-形式 $F$ 需满足何种几何条件，才能使缺陷在 (0,1) 与 (0,2) sigma 模型中保持超共形对称性？
• RQ2 如何通过推广几何将辛几何中 A-brane 构造推广至中性签名目标空间的情形？
• RQ3 在 (0,1) 与 (0,2) sigma 模型中引入缺陷时，拉格朗日与全空间 A-brane 的类比物是什么？
• RQ4 在何种条件下缺陷理论保持拓扑性，即 $H$、$P$ 与 $Q_+$ 电荷守恒？
• RQ5 哪些拓扑双 brane 实现了 $\Sigma$ 与 $\widehat{\Sigma}$ 上 sigma 模型理论之间的对偶性？

主要发现

• 拓扑双 brane 由 $X \times \widehat{X}$ 上的推广度量对 $Y$ 的 $F$-旋转推广切丛的稳定化所刻画，提供了推广几何中的统一几何条件。
• 子丛 $\mathcal{R}_+ \subseteq e^*TM$ 在拉回度量下为拉格朗日子丛，且当 $dF = 0$ 且 $\mathcal{R}_+$ 可积时，其为 $\nabla$-平行。
• 费米子变分项 $G_{IJ}\psi_+^I \delta^{\rm cov}\psi_+^J$ 因 $\mathcal{R}_+$ 的各向同性而消失，确保了费米子粘合条件的一致性。
• 缺陷几何要求 $Y$ 关于中性签名度量 $G = g \oplus -\widehat{g}$ 为共 isotropic，推广了 A-brane 的共 isotropy 条件。
• 特殊缺陷类——‘等距图’与‘半对乘 Kähler’缺陷——分别对应于拉格朗日与全空间 A-brane 的类比。
• 条件 $\dim \widetilde{\mathcal{R}}_+ = \dim \widetilde{\mathcal{R}}_- = k - n$ 成立，其中 $k = \dim Y$，$n = \dim X = \dim \widehat{X}$，且因共 isotropy 而有 $k \geq n$。