[论文解读] Geometry of Two-dimensional Self-shrinkers

Lu Wang|arXiv (Cornell University)|May 1, 2015

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 3

一句话总结

本文在原点之外建立了二维自缩子的局部图定理，证明在平均曲率较小且第二基本形式有界时，曲面在局部上为梯度较小的图。作为应用，证明了具有有界平均曲率和局部有限亏格的非紧致自缩子的第二基本形式一致有界，并确认了有限亏格的非紧致自缩子在无穷远处的渐近柱状或锥状行为。

ABSTRACT

We prove a local graphical theorem for two-dimensional self-shrinkers away from the origin. As applications, we study the asymptotic behavior of noncompact self-shrinkers with finite genus. Also, we show uniform boundedness on the second fundamental form of two-dimensional noncompact self-shrinkers with bounded mean curvature and uniform locally finite genus.

研究动机与目标

• 建立远离原点的二维自缩子的局部图分解定理，以促进渐近几何的分析。
• 解决关于有限亏格的非紧致自缩子渐近结构的猜想1.1，特别是其在无穷远处收敛于锥或柱面的行为。
• 证明具有有界平均曲率和局部有限亏格的非紧致二维自缩子的第二基本形式一致有界。
• 确认经平移后的自缩子在适当条件下平滑收敛于平面或柱面，符合猜想1.2的要求。
• 利用最大值原理和几何分析方法，排除渐近区域中出现类似Catenoid的极限形状。

提出的方法

• 在平均曲率较小且第二基本形式的$L^2$-范数有界的条件下，建立局部图定理（定理1.3）。
• 采用归纳法，并利用径向方向在平均曲率流中同时作为空间方向和时间方向的对偶标度行为。
• 应用Brakke的紧致性定理与White的分层定理，提取子列收敛于具有有限总曲率的极小曲面。
• 通过有限总曲率且亏格为零的极小曲面分类定理，将极限极小曲面分类为Catenoid。
• 在$|\mathbf{x}|^2$上应用最大值原理，通过连通分支计数排除Catenoid型极限的存在，导出矛盾。
• 通过法图的几何比较与横截性论证，证明在无穷远处不可能同时存在多个不同的锥或柱面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，二维自缩子在原点之外是局部图？
• RQ2 能否证明具有有限亏格的非紧致自缩子在无穷远处渐近趋近于锥或柱面？
• RQ3 对于具有有界平均曲率和局部有限亏格的非紧致二维自缩子，第二基本形式是否一致有界？
• RQ4 在适当条件下，自缩子的归一化平均曲率流是否平滑收敛于平面或柱面？
• RQ5 能否通过最大值原理论证，排除Catenoid作为缩放自缩子在无穷远处的极限？

主要发现

• 证明了局部图定理：在平均曲率较小且第二基本形式的$L^2$-范数有界时，曲面在局部上为梯度有界于$\delta_0$的图。
• 对于具有有限亏格的非紧致适当嵌入自缩子，其端部渐近为柱状或锥状，确认了猜想1.1的部分内容。
• 具有有界平均曲率和局部有限亏格的非紧致二维自缩子的第二基本形式一致有界。
• $\Sigma - \lambda \mathbf{v}_0$在$\lambda \to \infty$时的极限局部光滑收敛于多重数为一的平面或自缩柱面。
• 由于在对$|\mathbf{x}|^2$应用最大值原理时，连通分支数量出现矛盾，因此Catenoid不可能作为缩放自缩子的极限。
• 证明依赖于通过构造多个横截锥或柱面后，利用连通分支计数的反证法，表明此类构型与有限亏格及适当嵌入不相容。