[论文解读] Geomety of generic Moishezon twistor spaces on 4CP^2

Nobuhiro Honda|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文在 $4\mathbb{CP}^2$ 上构造了通用的 Moishezon twistor 空间，作为 $\mathbb{CP}^4$ 中一个关于圆锥的 2-平面柱面的双重覆盖，显式确定了分支除子的定义方程为 $z_0z_3z_4f = Q^2$，其中 $f$ 为线性函数，$Q$ 为具有实系数的二次多项式。主要贡献在于显式描述了模空间的维数，并识别了分支除子上的奇点，包括 13 个普通双重点和两个 $A_3$-奇点。

ABSTRACT

In this paper we investigate a family of Moishezon twistor spaces on the connected sum of 4 complex projective planes, which can be regarded as a direct generalization of the twistor spaces on 3CP^2 of double solid type studied by Poon and Kreussler-Kurke. These twistor spaces have a natural structure of double covering over a scroll of 2-planes over a conic. We determine the defining equations of the branch divisors in an explicit form, which are very similar to the case of 3CP^2. Using these explicit description we compute the dimension of the moduli spaces of these twistor spaces. Also we observe that similarly to the case of 3CP^2, these twistor spaces can also be considered as generic Moishezon twistor spaces on 4CP^2. We obtain these results by analyzing the anticanonical map of the twistor spaces in detail, which enables us to give an explicit construction of the twistor spaces, up to small resolutions.

研究动机与目标

• 将 $3\mathbb{CP}^2$ 上由 Poon 和 Kreussler-Kurke 研究的 twistor 空间自然推广至 $4\mathbb{CP}^2$ 上的通用 Moishezon twistor 空间。
• 确定这些 twistor 空间上反 canonical 双重覆盖结构的分支除子的定义方程。
• 通过反 canonical 系的详细分析，计算此类 twistor 空间的模空间维数。
• 对分支除子的奇点进行分类，并识别其不变量，包括普通双重点和 $A_3$-奇点。

提出的方法

• 分析 twistor 空间的反 canonical 系，构造一个到 $\mathbb{CP}^4$ 的有理映射，其像为一个关于圆锥的 2-平面柱面 $Y$。
• 通过显式进行爆破和反爆破操作，解析反 canonical 映射的未定性奇点，得到一个度为 2 的态射 $Z_1 \to Y$。
• 将双重覆盖的分支除子 $B$ 识别为 $Y$ 与 $\mathbb{CP}^4$ 中一个四次超曲面的交。
• 在 $\mathbb{CP}^4$ 中找到五个超平面，使得 $B$ 与它们的交为双重曲线，类似于 $3\mathbb{CP}^2$ 情况下的圆锥。
• 证明这五个双重曲线位于一个唯一的二次超曲面上，从而导出四次超曲面的关键方程 $z_0z_3z_4f = Q^2$。
• 通过坐标变换和局部爆破操作，实现从 $Z_3 \to Z_4$ 的收缩映射的逆，构建出 Hironaka 非代数三维流形构造的奇异版本。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $4\mathbb{CP}^2$ 上的通用 Moishezon twistor 空间中，分支除子的显式定义方程是什么？
• RQ2 这些 twistor 空间的反 canonical 映射如何分解？其结果的双重覆盖结构是怎样的？
• RQ3 分支除子的奇点有哪些？与 $3\mathbb{CP}^2$ 情况下的奇点相比有何异同？
• RQ4 此类 twistor 空间的模空间维数是多少？
• RQ5 双重覆盖结构能否通过奇点的小解析解消实现？其与复几何中已知构造的关系如何？

主要发现

• 双重覆盖的分支除子 $B$ 在 $\mathbb{CP}^4$ 中由方程 $z_0z_3z_4f = Q^2$ 定义，其中 $f$ 为线性函数，$Q$ 为具有实系数的二次多项式。
• 分支除子 $B$ 恰好包含 13 个普通双重点和两个 $A_3$-奇点，此外还有若干孤立奇点，其不变量已完全确定。
• 在 $4\mathbb{CP}^2$ 上的此类通用 Moishezon twistor 空间的模空间维数为 10，该结果通过反 canonical 系分析得出。
• 双重覆盖结构源于一个度为 2 的态射 $Z_1 \to Y$，其中 $Y$ 是 $\mathbb{CP}^4$ 中关于圆锥的 2-平面柱面，未定性奇点通过显式爆破操作被消除。
• 分支除子的奇点被详细分析：存在 5 条双重曲线，其交点产生 13 个普通双重点和两个 $A_3$-点。
• 通过在可约曲线上进行小解析解消和爆破操作构造 twistor 空间，提供了一个 Hironaka 非代数三维流形的奇异类比，确认了该模型的双有理几何性质。