[论文解读] Geostrophic convective turbulence: The effect of boundary layers

Rudie Kunnen, Rodolfo Ostilla–Mónico+3 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2014

Fluid Dynamics and Turbulent Flows参考文献 43被引用 28

一句话总结

本研究通过改变埃克曼数（Ek = 1.3×10⁻⁷ 至 2×10⁻⁶）和瑞利数（Ra = 10¹⁰ 与 5×10¹⁰）的直接数值模拟，研究了旋转瑞利-巴纳德对流中向地转对流的转变，重点分析了无滑移与自由应力边界条件的影响。两种边界条件下，过渡发生的埃克曼数相近（约 9×10⁻⁷ 和约 3×10⁻⁷），但流动现象学表现不同：自由应力板支持大尺度的横流涡旋并产生逆能量级串，而无滑移板则抑制相干结构并消除逆级串，表明边界条件对地转湍流动力学具有决定性影响。

ABSTRACT

Rayleigh--Bénard (RB) convection, the flow in a fluid layer heated from below and cooled from above, is used to analyze the transition to the geostrophic regime of thermal convection. In the geostrophic regime, which is of direct relevance to most geo- and astrophysical flows, the system is strongly rotated while maintaining a sufficiently large thermal driving to generate turbulence. We directly simulate the Navier--Stokes equations for two values of the thermal forcing, i.e. $Ra=10^{10}$ and $Ra=5\cdot10^{10}$, a constant Prandtl number~$Pr=1$, and vary the Ekman number in the range $Ek=1.3\cdot10^{-7}$ to $Ek=2\cdot10^{-6}$ which satisfies both requirements of super-criticality and strong rotation. We focus on the differences between the application of no-slip vs. stress-free boundary conditions on the horizontal plates. The transition is found at roughly the same parameter values for both boundary conditions, i.e. at~$Ek\approx 9 imes 10^{-7}$ for~$Ra=1 imes 10^{10}$ and at~$Ek\approx 3 imes 10^{-7}$ for~$Ra=5 imes 10^{10}$. However, the transition is gradual and it does not exactly coincide in~$Ek$ for different flow indicators. In particular, we report the characteristics of the transitions in the heat transfer scaling laws, the boundary-layer thicknesses, the bulk/boundary-layer distribution of dissipations and the mean temperature gradient in the bulk. The flow phenomenology in the geostrophic regime evolves differently for no-slip and stress-free plates. For stress-free conditions the formation of a large-scale barotropic vortex with associated inverse energy cascade is apparent. For no-slip plates, a turbulent state without large-scale coherent structures is found; the absence of large-scale structure formation is reflected in the energy transfer in the sense that the inverse cascade, present for stress-free boundary conditions, vanishes.

研究动机与目标

• 研究在不同边界条件下，旋转瑞利-巴纳德对流中地转湍流的转变过程。
• 确定在无滑移与自由应力板条件下，地转态转变是否发生在相同的参数值。
• 分析边界条件如何影响地转态下的传热标度、边界层厚度、耗散分布及流动结构。
• 评估理论标度律（如 Julien et al. 与 King et al. 提出的）在不同边界条件下的适用性。
• 阐明驱动转变的物理机制，特别是边界层与本体动力学的作用。

提出的方法

• 对不可压缩纳维-斯托克斯方程进行直接数值模拟，普朗特数恒定（Pr = 1），并采用两个瑞利数（Ra = 10¹⁰ 与 5×10¹⁰）。
• 系统性地改变埃克曼数（Ek = 1.3×10⁻⁷ 至 2×10⁻⁶），以实现强旋转与超临界对流。
• 比较水平板上无滑移与自由应力边界条件下的流动行为。
• 通过努塞尔数（Nu）作为 Ra 与 Ek 的函数，分析传热标度。
• 测量并比较热边界层与动能边界层厚度，及其与 Ek 的标度关系。
• 对湍流动能与热方差耗散在本体与边界层之间的空间分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Ra = 10¹⁰ 与 5×10¹⁰ 条件下，无滑移与自由应力边界条件下，地转对流的转变发生在哪个埃克曼数？
• RQ2 在地转态下，无滑移与自由应力板的传热标度律（Nu ∼ Ra^β Ek^γ）有何不同？
• RQ3 边界层在转变过程中起什么作用，特别是热边界层与动能边界层厚度的标度关系？
• RQ4 在转变过程中，动能与热方差耗散在本体与边界层之间的分布如何变化？
• RQ5 为何在地转态下，逆能量级串在自由应力条件下持续存在，而在无滑移条件下消失？

主要发现

• 在 Ra ≈ 1×10¹⁰ 时，地转对流的转变发生在 Ek ≈ 9×10⁻⁷；在 Ra ≈ 5×10¹⁰ 时，发生在 Ek ≈ 3×10⁻⁷，且无滑移与自由应力边界条件下的转变阈值相近。
• 对于自由应力板，形成大尺度横流涡旋并伴随逆能量级串；而无滑移板则表现出无大尺度相干结构的湍流态。
• 自由应力板的努塞尔数标度与 Julien et al. (2012a) 的理论标度（Nu ∼ Ra^{3/2} Ek²）最为吻合；而无滑移板表现出与现有理论不符的标度行为。
• 热边界层厚度的标度在 Ek ≈ 8×10⁻⁷（Ra = 1×10¹⁰）与 Ek ≈ 3×10⁻⁷（Ra = 5×10¹⁰）处发生突变，表明边界层结构发生转变。
• 热方差耗散（εᵤ）主要集中在本体区域，且在转变点处标度关系发生变化，表明主导耗散机制发生转变。
• 该转变过程是渐进的，且所有流动指标未完全同步，表明无法通过单一标准明确定义地转态的起始点。