[论文解读] Gerbal Representations of Double Loop Groups

Edward Frenkel, Xinwen Zhu|ArXiv.org|Oct 8, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文引入了'gerbal 表示'——投影表示的范畴化类比——以实现双重循环群及其李代数的非平凡三阶上同调类。通过在完成的克利福德代数模范畴上构造 $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$ 的 gerbal 表示，作者提供了一个费米子 Fock 表示的二维类比，通过范畴作用实现了 $H^3$ 中的异常类，从而解决了高维中正常排序的不相容性问题。

ABSTRACT

A crucial role in representation theory of loop groups of reductive Lie groups and their Lie algebras is played by their non-trivial second cohomology classes which give rise to their central extensions (the affine Kac-Moody groups and Lie algebras). Loop groups embed into the group GL_\infty of continuous automorphisms of C((t)), and these classes come from a second cohomology class of GL_\infty. In a similar way, double loop groups embed into a group of automorphisms of C((t))((s)), denoted by GL_{\infty,\infty}, which has a non-trivial third cohomology. In this paper we explain how to realize a third cohomology class in representation theory of a group: it naturally arises when we consider representations on categories rather than vector spaces. We call them "gerbal representations." We then construct a gerbal representation of GL_{\infty,\infty} (and hence of double loop groups), realizing its non-trivial third cohomology class, on a category of modules over an infinite-dimensional Clifford algebra. This is a two-dimensional analogue of the fermionic Fock representations of the ordinary loop groups.

研究动机与目标

• 在表示理论中解释双重循环群及其李代数的非平凡三阶上同调类。
• 发展一个范畴框架——gerbal 表示——其中群作用发生在范畴上而非向量空间上。
• 通过一个无限维完成克利福德代数模范畴，具体实现该上同调类。
• 为双重循环群建立费米子 Fock 表示的二维类比。
• 猜想表示范畴与完成克利福德模范畴之间的等价性，保持 gerbal 结构。

提出的方法

• 通过在完成克利福德代数模范畴上的 gerbal 表示，实现 $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$ 的三阶上同调类。
• 利用分裂 $\mathcal{O}_K = L_0 \oplus L'_0$ 和由 $s^n\mathcal{O}_K \cap L'_0$ 定义的拓扑，构造完成克利福德代数 $\mathrm{Cl}_{\mathcal{O}_K, L'_0}$。
• 将真空模 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$ 定义为从拓扑子代数 $\widehat{V}(L_0 \oplus L_0^\perp)$ 的诱导表示。
• 利用同构 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cl}_{\mathcal{O}_K, L'_0}}(\widehat{\mathrm{ML}}_{L_1, L'_0}, \widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}) \cong \det(L_1|L_0)$ 定义范畴作用。
• 建立由 $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-平移生成的半单阿贝尔范畴 $\mathrm{Rep}$，实现 gerbal 表示。
• 猜想 $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-等变等价关系，将 $\widehat{\mathrm{C}}_{\mathrm{ss}}^{\mathcal{O}_K}$ 与 $\mathrm{Rep}$ 关联，且将 $\widehat{\mathrm{ML}}_0$ 映射至 $\widehat{\mathrm{ML}}_0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在表示理论中实现双重循环群的三阶上同调类？
• RQ2 何种范畴结构可推广投影表示以容纳更高阶上同调类？
• RQ3 能否为 $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$ 构造费米子 Fock 表示的二维类比？
• RQ4 分裂 $\mathcal{O}_K = L_0 \oplus L'_0$ 的选择如何影响表示结构？
• RQ5 是否存在表示范畴与完成克利福德模范畴之间的典范等价？

主要发现

• 本文在完成克利福德代数模范畴上构造了 $\mathrm{GL}_{\infty,\infty}$ 的 gerbal 表示，实现了非平凡三阶上同调类。
• $\mathrm{Rep}$ 范畴，由 $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-平移生成 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$，在 gerbal 作用下不变，并实现类 $[E_3] \in H^3(\mathrm{GL}_{\infty,\infty}, \mathbb{C})$。
• 对于任意与 $L_0$ 伪共模的次级格 $L_1$，存在典范同构 $\mathrm{Hom}_{\mathrm{Cl}_{\mathcal{O}_K, L'_0}}(\widehat{\mathrm{ML}}_{L_1, L'_0}, \widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}) \cong \det(L_1|L_0)$，该同构构成了范畴作用的基础。
• 完成克利福德模 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$ 在 $\widehat{\mathrm{GL}}_{f,\infty}$ 作用下不变，且作用关于诱导拓扑是连续的。
• 作者猜想，对于任意分裂 $\mathcal{O}_K = L_0 \oplus L''_0$，有 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L'_0}$ 与 $\widehat{\mathrm{ML}}_{L_0, L''_0}$ 之间存在典范同构，从而可统一记为 $\widehat{\mathrm{ML}}_0$。
• 提出一个猜想的 $\mathrm{GL}^+_{\infty}(\mathfrak{gl}_\infty)$-等变等价关系，关联 $\widehat{\mathrm{C}}_{\mathrm{ss}}^{\mathcal{O}_K}$ 与 $\mathrm{Rep}$，并将 $\widehat{\mathrm{ML}}_0$ 映射至 $\widehat{\mathrm{ML}}_0$，从而实现 gerbal 表示的同态。