[论文解读] Gerber-Shiu functionals at Parisian ruin for Lévy insurance risk processes

Erik J. Baurdoux, Juan Carlos Pardo+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 25, 2014

Probability and Risk Models参考文献 9被引用 8

一句话总结

本文推导了具有指数实现延迟的谱负 Lévy 保险风险过程在巴黎 ruin 时的 Gerber–Shiu 分布的显式表达式。利用点蚀理论和 scale 函数，该研究将 Landriault 等人的先前结果推广至有界变差和无界变差过程，给出了以 scale 函数表示的紧凑公式，该公式可作为已知 ruin 概率的特例恢复。

ABSTRACT

Inspired by works of Landriault et al. \cite{LRZ-0, LRZ}, we study discounted penalties at ruin for surplus dynamics driven by a spectrally negative Lévy process with Parisian implementation delays. To be specific, we study the so-called Gerber-Shiu functional for a ruin model where at each time the surplus process goes negative, an independent exponential clock with rate $q>0$ is started. If the clock rings before the surplus becomes positive again then the insurance company is ruined. Our methodology uses excursion theory for spectrally negative Lévy processes and relies on the theory of the so-called scale functions. In particular, our results extend recent results of Landriault et al. \cite{LRZ-0, LRZ}.

研究动机与目标

• 将 Gerber–Shiu 函数扩展至具有指数实现延迟的谱负 Lévy 风险过程的巴黎 ruin 模型。
• 基于低于零的点蚀和指数时钟，提供巴黎 ruin 的严格定义。
• 将 Landriault 等人关于有界变差过程的结果推广至一般的谱负 Lévy 过程。
• 以 scale 函数表示 Gerber–Shiu 分布，实现显式计算。
• 将已知的巴黎 ruin 概率作为所推导分布的特例恢复。

提出的方法

• 使用谱负 Lévy 过程的点蚀理论来建模低于零的点蚀。
• 应用强马氏性质和点蚀的独立性，分解 ruin 时间的分布。
• 采用 scale 函数 $W^{(q)}$ 和 $W^{(q+ heta)}$ 来刻画 ruin 时间与赤字的联合分布。
• 引入极限过程 $\varepsilon \downarrow 0$，将巴黎 ruin 时间定义为在负点蚀期间第一个响起的指数时钟的首次通过时间。
• 通过拉普拉斯变换和控制收敛定理推导 Gerber–Shiu 函数，利用波动恒等式。
• 利用恒等式 $\lim_{c\to\infty} \frac{W^{(r)}(c-x)}{W^{(r)}(c)} = e^{-\Phi(r)x}$ 计算无限时域极限。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有指数实现延迟的一般谱负 Lévy 过程，如何刻画巴黎 ruin 时的 Gerber–Shiu 分布？
• RQ2 当 ruin 机制涉及负点蚀期间的指数时钟时，Gerber–Shiu 函数的显式形式是什么？
• RQ3 与 Landriault 等人在有界变差情形下的结果相比，本研究如何将结果从有界变差情形推广至一般无界变差设置？
• RQ4 在波动理论背景下，巴黎 ruin 分布与 scale 函数之间存在何种关系？
• RQ5 所推导的 Gerber–Shiu 分布能否作为特例恢复巴黎 ruin 的概率？

主要发现

• 本文推导出谱负 Lévy 过程（无论有界变差还是无界变差）在巴黎 ruin 时 Gerber–Shiu 分布的显式且紧凑的表达式，其形式基于 scale 函数。
• 通过将框架从有界变差过程推广至一般 Lévy 过程，该结果推广了 Landriault 等人的发现。
• 通过在所推导公式中取适当的极限，可将巴黎 ruin 的概率作为特例恢复。
• 利用 scale 函数的极限行为计算无限时域 Gerber–Shiu 分布，得到涉及 $\Phi(\theta)$ 和 $\Phi(\theta+q)$ 的表达式。
• 该公式结合了 scale 函数与赤字上的积分，其系数取决于 scale 函数的比值和指数因子。
• 推导过程严格证明了使用极限 $\varepsilon \downarrow 0$ 将巴黎 ruin 时间定义为在负点蚀期间第一个响起的指数时钟的首次通过时间的合理性。