[论文解读] Gerbes and quantum field theory

Jouko Mickelsson|ArXiv.org|Mar 11, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 5被引用 6

一句话总结

本文通过 $PU(H)$-丛，以纤维丛的几何实现方式建立了整数第三上同调的几何实现代数，其特征类——Dixmier-Douady 类——属于 $H^3(M,\mathbb{Z})$。它表明，通过将投影表示和环路群的中心扩张与上同调中的特征类联系起来，主丛为理解量子场论中的异常（特别是手征异常）提供了微分几何框架。

ABSTRACT

The basic mechanism how gerbes arise in quantum field theory is explained; in particular the case of chiral fermions in background fields is treated. The role of of various gauge group extensions (central extensions of loop groups and their generalizations) is also explained, in relation to index theory computation of the Dixmier-Douady class of a gerbe.

研究动机与目标

• 提供主丛的微分几何构造，作为整数第三上同调类的几何实现代数。
• 将 $PU(H)$-丛的Dixmier-Douady类与量子场论中的异常（特别是手征异常）联系起来。
• 证明结构群提升的障碍（例如从 $SO(n)$ 到 $Spin(n)$）通过Bockstein同态对应于 $H^3(M,\mathbb{Z})$ 中的挠元。
• 通过微分形式和特征类，将环路群中心扩张的构造推广到高维流形。
• 证明即使在de Rham上同调消失的情况下，挠上同调类在量子场论中仍具有物理意义，尤其是在哈密顿异常形式中。

提出的方法

• 在流形 $M$ 上构造主 $PU(H)$-丛，其过渡函数 $g_{\alpha\beta}$ 在重叠区域满足上链条件。
• 将取值于 $PU(H)$ 的过渡函数上拉至取值于 $U(H)$ 的函数 $\hat{g}_{\alpha\beta}$，从而在三重重叠上得到取值于 $S^1$ 的函数 $f_{\alpha\beta\gamma}$。
• 通过 $f_{\alpha\beta\gamma}$ 的对数差分，利用Čech上同调定义Dixmier-Douady类，得到 $H^3(M,\mathbb{Z})$ 中的一个类。
• 利用Bockstein同态将第二Stiefel-Whitney类 $w_2$ 与 $H^3(M,\mathbb{Z})$ 中的2阶挠元联系起来，从而将旋结构与主丛联系起来。
• 通过由Chern-Simons 3-形式导出的2-上链构造环路群 $Map(S,G)$ 的中心扩张，并对基本扩张进行归一化。
• 将构造推广至高维环路群，使用高阶微分形式和具有边界的流形（如 $S^3$ 和 $S^5$），即使在de Rham上同调消失时，也能定义扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过纤维丛在流形上几何实现整数第三上同调类？
• RQ2 Dixmier-Douady类在表征 $PU(H)$-丛及其在量子场论中的物理意义方面起什么作用？
• RQ3 费米场论中的手征异常如何与规范结构群提升的障碍（如从 $SO(n)$ 到 $Spin(n)$）相关联？
• RQ4 当de Rham上同调消失时，$H^3(M,\mathbb{Z})$ 中的挠上同调类如何编码物理异常？
• RQ5 如何从微分形式构造环路群的中心扩张？其在哈密顿异常形式中的意义是什么？

主要发现

• 该构造在 $M$ 上的 $PU(H)$-丛的等价类与 $H^3(M,\mathbb{Z})$ 的元素之间建立了双射关系，其中Dixmier-Douady类为特征不变量。
• 流形上旋结构存在的障碍（由第二Stiefel-Whitney类 $w_2$ 给出）通过Bockstein同态映射为 $H^3(M,\mathbb{Z})$ 中的2阶挠元，即Dixmier-Douady类。
• 在有限维情形下，表示Dixmier-Douady类的Čech上链必为挠类，满足 $Na = 0$，其中 $N = \dim H$，这反映了 $PU(H)$ 的有限纤维结构。
• 对于群 $G = SU(n)$，由Chern-Simons 3-形式定义的环路群 $LG$ 的中心扩张给出基本扩张，其上同调类生成 $H^2(LG,\mathbb{Z})$，确认其在异常理论中的作用。
• 即使中心扩张的de Rham上同调类消失（例如 $G = SU(2)$ 在 $S^3$ 上），$H^3(M,\mathbb{Z})$ 中的挠信息仍存在，反映了从 $S^3$ 到 $G$ 的映射群中非平凡的 $\mathbb{Z}_2$ 扩张，如Witten的 $SU(2)$ 异常所示。
• 该构造可推广至高维环路群，使用高阶微分形式（如 $SU(2)$ 上的5-形式 $\omega_5$），即使形式因维数关系恒为零，也能在 $Map(S^3, G)$ 的连通分支上定义中心扩张。