[论文解读] Gerbes on complex reductive Lie groups

Jean-Luc Brylinski|ArXiv.org|Feb 19, 2000

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 31

一句话总结

本文通过从格罗滕迪克流形上关于对偶 $(g,B)$ 的主丛出发，利用几何下降法，在复半单李群 $G$ 上构造了一个全纯的、共轭不变的 $2$-丛。该构造依赖于在余特征格上满足量子化条件的 $W$-不变双线性型 $b$，并给出了 $K$（即 $G$ 的紧致实形式）上的典范 $2$-丛，推广了已知的陈-西蒙斯 $2$-丛。

ABSTRACT

We construct a gerbe over a complex reductive Lie group G attached to an invariant bilinear form on a maximal diagonalizable subalgebra which is Weyl group invariant and satisfies a parity condition. By restriction to a maximal compact subgroup K, one then gets a gerbe over K. For a simply-connected group, the parity condition is the same used by Pressley and Segal; in general, it was introduced by Deligne and the author. The gerbe is defined by geometric methods, using the so-called Grothendieck manifold. It is equivariant under the conjugation action of G; its restriction to a semisimple orbit is not always trivial. The paper starts with a discussion of gerbe data (in the sense of Chatterjee and Hitchin) and of gerbes as geometric objects (sheaves of groupoids); the relation between the two approaches is presented. There is an Appendix on equivariant gerbes, discussed from both points of view.

研究动机与目标

• 在不依赖基于环路群中心扩张的前提下，提供一个紧致单连通李群 $K$ 上典范 $2$-丛的有限维几何构造。
• 将典范 $2$-丛的构造推广至任意复半单群 $G$，包括非单连通的情形。
• 利用组合数据（双线性型 $b$）和从格罗滕迪克流形 $\tilde{G}$ 上的下降法，定义 $G$ 上的全 holomorphic、$G$-等变 $2$-丛。
• 证明该 $2$-丛在半单轨道上的限制并不总是平凡的，揭示了 $2$-丛理论中的挠现象。
• 通过系统处理等变 $2$-丛及其联络，统一 $2$-丛理论与层-群胚方法。

提出的方法

• 通过极大环面 $T$ 上特征的拉回和旗流形 $G/B$ 上等变线丛的构造，在格罗滕迪克流形 $\tilde{G} = \{(g,B) \mid g \in G, B \text{ 为博雷尔子群}, g \in B\}$ 上构造一个 $2$-丛 $\tilde{\mathcal{C}}$。
• 利用自然投影 $\tilde{G} \to G/B$ 和 $\tilde{G} \to T$，通过上积构造定义 $\tilde{\mathcal{C}}$ 的 $2$-丛数据。
• 首先将 $\tilde{\mathcal{C}}$ 限制到正则半单元素的开稠密子集 $G^{\text{reg}}$ 上，此时 $\tilde{G} \to G^{\text{reg}}$ 是以 $W$（即威尔群）为伽罗瓦群的覆盖，再利用下降理论将 $\tilde{\mathcal{C}}$ 降为 $G^{\text{reg}}$ 上的 $2$-丛。
• 假设 $b$ 是 $W$-不变的，利用下降理论在 $G^{\text{reg}}$ 上构造出 $G$ 上的 $2$-丛 $\mathcal{C}$，并通过上同调方法将其延拓至整个 $G$，并归约至 $SL(2,\mathbb{C})$ 的情形。
• 利用层论方法处理余维数为 2 的奇点，确保该 $2$-丛在 $G$ 上整体定义良好，条件是对于所有根系的余根 $\alpha$，有 $b(\check{\alpha}, \check{\alpha})$ 为偶数。
• 定义了该 $2$-丛上的 $0$-联络，尽管完整的 $1$-联络（微分几何结构）仍为猜想，未显式构造；并通过 $2$-丛等价和自然变换讨论其等变结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何仅使用有限维几何数据，在复半单李群 $G$ 上构造一个典范全纯 $2$-丛，避免使用无限维环路群构造？
• RQ2 在极大环面余特征格上的双线性型 $b$ 需满足何种条件，才能保证其在 $\tilde{G}$ 上诱导的 $2$-丛能下降为 $G$ 上的良好定义的 $2$-丛？
• RQ3 从 $G^{\text{reg}}$ 延拓 $2$-丛至整个群 $G$ 的障碍是什么？如何通过上同调下降法克服该障碍？
• RQ4 为何该 $2$-丛在半单轨道上的限制并不总是平凡的？这对 $2$-丛在半单群上的挠结构意味着什么？
• RQ5 在等变 $2$-丛的背景下，层-群胚方法与 $2$-丛数据方法之间有何关系？如何实现统一？

主要发现

• 通过从格罗滕迪克流形 $\tilde{G}$ 上的 $2$-丛下降，构造了 $G$ 上的全纯 $2$-丛 $\mathcal{C}$，其参数为余特征格上满足量子化条件的 $W$-不变双线性型 $b$。
• 该构造给出了 $G$ 上的共轭不变 $2$-丛，其在紧致实形式 $K \subset G$ 上的限制为良好定义且不变的 $2$-丛，推广了典范的陈-西蒙斯 $2$-丛。
• 该 $2$-丛在半单轨道上的限制并不总是平凡的，表明其拓扑结构中存在非平凡的挠现象。
• 该 $2$-丛允许定义一个 $0$-联络，但完整的 $1$-联络（微分几何结构）仍为猜想，尚未显式构造。
• 该方法提供了 $K$ 上典范 $2$-丛的有限维几何实现，避免了对基于环路群 $\Omega K$ 的中心扩张的依赖，从而与有限维矩映射理论一致。
• 该构造在群 $H$（与 $G$ 仅差中心）作用下是等变的，所得到的 $2$-丛通过满足上链条件的 $2$-丛等价和自然变换与 $G$ 的作用相容。