[论文解读] Gerbes, SU(2) WZW models and exotic smooth R^4

Torsten Aßelmeyer-Maluga, Jerzy Król|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2009

Black Holes and Theoretical Physics被引用 2

一句话总结

本文建立了德米切尔-弗里德曼型小外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 与 $S^{3}$ 的余维一叶状结构之间的严格相对对应关系，其中戈德比隆-维 invariant 通过径向族半径的平方来区分外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 的同伦类。该研究将这些外尔德微分结构与 $TS^{3} \oplus T^{\star}S^{3}$ 上的阿贝尔丛以及扭曲广义几何联系起来，表明外尔德 4-区域在无磁单极子的情况下诱导了电荷的量子化。

ABSTRACT

In the paper we prove the existence of the strict but relative relation between small exotic $\mathbb{R}^{4}$ for a fixed radial family of DeMichelis-Freedman type, and cobordism classes of codimension one foliations of $S^{3}$ distinguished by the Godbillon-Vey invariant, $GV\in H^{3}(S^{3},\mathbb{R})$ (represented by a 3-form). This invariant can be integrated to get the Godbillon-Vey number. For a fixed radial family, we will show that the isotopy classes (invariance w.r.t. small diffeomorphisms or coordinate transformations) of all members in this family are distinguished by the Godbillon-Vey number of the foliation which is equal to the square of the radius of the radial family. The special case of integer Godbillon-Vey invariants $GV\in H^{3}(S^{3},\mathbb{Z})$ is also discussed and is connected to flat $PSL(2,\mathbb{R})-$bundles. Next we relate these distinguished small exotic smooth $\mathbb{R}^{4}$'s to twisted generalized geometries of Hitchin on $TS^{3}\oplus T^{\star}S^{3}$ and abelian gerbes on $S^{3}$. In particular the change of the smoothness on $\mathbb{R}^{4}$ corresponds to the twisting of the generalized geometry by the abelian gerbe. We formulate the localization principle for exotic 4-regions in spacetime and show that the existence of these domains causes the quantization of electric charge, the effect usually ascribed to the existence of magnetic monopoles.

研究动机与目标

• 建立小外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 与 $S^{3}$ 的余维一叶状结构之间的严格相对对应关系。
• 表明在固定径向族中，外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 的同伦类由戈德比隆-维 invariant 区分，其值等于径向参数的平方。
• 将外尔德微分结构与 $TS^{3} \oplus T^{\star}S^{3}$ 上的扭曲广义几何以及 $S^{3}$ 上的阿贝尔丛联系起来。
• 提出时空中外尔德 4-区域的局域化原理，并探讨其物理含义。
• 证明外尔德 4-区域导致电荷量子化，而无需引入磁单极子。

提出的方法

• 使用戈德比隆-维 invariant $GV \in H^{3}(S^{3},\mathbb{R})$ 作为叶状结构的区分不变量，以一个 3-形式表示。
• 将戈德比隆-维数的值与小外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 径向族中半径的平方关联起来。
• 通过 $TS^{3} \oplus T^{\star}S^{3}$ 上的扭曲广义几何，建立外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 与 $S^{3}$ 上阿贝尔丛之间的对应关系。
• 将局域化原理应用于时空中外尔德 4-区域，表明其对规范理论的影响。
• 利用阿贝尔丛对广义几何的扭曲来模拟 $\mathbb{R}^{4}$ 上微分结构的变化。
• 分析整数戈德比隆-维不变量的情形，以连接到平坦的 $PSL(2,\mathbb{R})$-丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在径向族中，小外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 的同伦类如何通过 $S^{3}$ 的几何不变量来区分？
• RQ2 叶状结构在 $S^{3}$ 上的戈德比隆-维不变量与外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 的径向参数之间的确切关系是什么？
• RQ3 $S^{3}$ 上的阿贝尔丛如何编码对应于 $\mathbb{R}^{4}$ 上外尔德微分结构的广义几何扭曲？
• RQ4 在时空中局域化外尔德 4-区域会产生何种物理后果？
• RQ5 外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 的存在如何导致电荷量子化，而无需引入磁单极子？

主要发现

• 在固定径向族中，小外尔德 $\mathbb{R}^{4}$ 的同伦类由相关 $S^{3}$ 叶状结构的戈德比隆-维数唯一确定，该数值等于径向参数的平方。
• 整数戈德比隆-维不变量对应于平坦的 $PSL(2,\mathbb{R})$-丛，将拓扑不变量与几何结构联系起来。
• $\mathbb{R}^{4}$ 上的外尔德微分结构通过阿贝尔丛在 $TS^{3} \oplus T^{\star}S^{3}$ 上的广义几何扭曲得以实现。
• $\mathbb{R}^{4}$ 上微分结构的变化通过阿贝尔丛对广义几何的扭曲在几何上得以建模。
• 时空中外尔德 4-区域的局域化诱导了电荷量子化，这一现象通常归因于磁单极子。
• 本文提供了一种不依赖磁单极子的电荷量子化几何机制，其根源在于外尔德微分结构与叶状不变量。