[论文解读] Gersten weight structures for motivic homotopy categories; retracts of cohomology of function fields, motivic dimensions, and coniveau spectral sequences

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文为通过三角化 motivic 同伦类别 $SH^{S^1}(k)$ 的上同调理论建立了函子性 coniveau 族谱序列，引入了一个在 $\mathbb{A}^1$-pro-谱类别上的 Gersten 权重结构。关键结果是：仿射基本光滑半局部概形与 $\mathbb{A}^1$-点的上同调是其稠密开子概形上同调的重言式，从而推出分裂的 Cousin 复形，并将 Bloch-Ogus 族谱序列推广至 motivic 谱。

ABSTRACT

For any cohomology theory $H$ that can be factorized through (the Morel-Voevodsky's triangulated motivic homotopy category) $SH^{S^1}(k)$ we establish the $SH^{S^1}(k)$-functoriality of coniveau spectral sequences for $H$. We also prove: for any affine essentially smooth semi-local $S$ the Cousin complex for $H^*(S)$ splits; if $H$ also factorizes through $SH^+(k)$ or $DM(k)$, then this is also true for any primitive $S$. Moreover, the cohomology of such an $S$ is a direct summand of the cohomology of any its open dense subscheme. This is a vast generalization of the results of a previous paper. In order to prove these results we consider certain triangulated categories of motivic pro-spectra, and introduce Gersten weight structures for them. We study in detail the notions of cohomological dimensions of scheme associated to various categories of motivic pro-spectra; they are defined in terms of the corresponding weight structures and count the number of non-zero Nisnevich cohomology for sheaves in the hearts of orthogonal "homotopy" $t$-structures.

研究动机与目标

• 将 Voevodsky 的动机中的函子性 coniveau 族谱序列扩展至任意完美域上的 $SH^{S^1}(k)$ 及其相关 motivic 同伦范畴的更广泛设定。
• 证明仿射基本光滑半局部概形与 $\mathbb{A}^1$-点的上同调是其任意稠密开子概形上同调的重言式，从而推出分裂的 Cousin 复形。
• 在 $\mathbb{A}^1$-pro-谱类别上引入一种新的 Gersten 权重结构，该结构推广了 $SH^{S^1}(k)$ 中任意紧致对象的古典 coniveau 族谱序列。
• 定义并研究 $\mathbb{A}^1$-上同调维数，并将其与 motivic 维数及函数域的 pro-谱联系起来。
• 通过表示谱的 $t$-截断，将 Bloch-Ogus 族谱序列计算推广至 motivic 谱。

提出的方法

• 构造一个三角化范畴 $\mathfrak{D}$，其包含 $SH^{S^1}(k)^c$ 与基本光滑 $k$-概形的 pro-谱。
• 在 $\mathfrak{D}$ 上定义一个 Gersten 权重结构 $w$，其核心包含光滑代数簇点的扭曲 pro-谱。
• 利用 $\mathfrak{D}$ 中的 Postnikov 层次分解光滑代数簇的 $SH^{S^1}(k)$-谱，将其分解为各点的扭曲 pro-谱。
• 建立任何通过 $SH^{S^1}(k)$ 的上同调理论在 $SH^{S^1}(k)^{\mathrm{op}}$ 上的 coniveau 族谱序列的函子性。
• 证明函数域的 pro-谱是其任意稠密 pro-开子概形的 pro-谱的重言式，从而推出其上同调也满足此性质。
• 引入 $\mathbb{A}^1$-上同调维数的概念，并证明在参数处局部化的仿射基本光滑半局部概形的维数 $\leq 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使通过 $SH^{S^1}(k)$ 的上同调理论的 coniveau 族谱序列在 motivic 同伦范畴的对偶范畴中成为函子性的？
• RQ2 在何种条件下，基本光滑半局部概形的上同调是其任意稠密开子概形上同调的直和项？
• RQ3 如何通过表示谱的 $t$-截断将经典的 Bloch-Ogus coniveau 族谱序列推广至 motivic 谱？
• RQ4 $\mathbb{A}^1$-pro-谱在构造推广 coniveau 滤子的权重结构中起什么作用？
• RQ5 何时一个基本光滑概形的上同调 Cousin 复形会分裂？这对其上同调维数意味着什么？

主要发现

• 对任意仿射基本光滑半局部 $S/k$，若上同调 $H$ 因子化于 $SH^{S^1}(k)$，则 $H^*(S)$ 的 Cousin 复形分裂，这意味着 $H^*(S)$ 是任意稠密 pro-开子概形 $S'$ 的 $H^*(S')$ 的直和项。
• $\mathfrak{D}$ 中函数域的 pro-谱包含其所有几何赋值的剩余域的扭曲 pro-谱作为重言式，因此其上同调也满足此性质。
• 一个基本光滑概形 $S/k$ 是 $\mathbb{A}^1$-点当且仅当其 pro-谱是 $S$ 的任意稠密 pro-开子概形的 pro-谱的重言式。
• 在参数处局部化的仿射基本光滑半局部概形具有 $\mathbb{A}^1$-上同调维数 $\leq 0$，且此类概形即为 $\mathbb{A}^1$-点。
• 由 $Y \in SH^{S^1}(k)$ 表示的 $H$ 的 coniveau 族谱序列可通过 $Y$ 的 $t$-截断表达，从而将 Bloch-Ogus 计算推广至 motivic 谱。
• 当 $k$ 具有有限的 $2$-adic 上同调维数时，$S/k$ 的 ${\mathbb{Z}}[1/2]$-线性 $T$-上同调维数等于其 ${\mathbb{Z}}[1/2]$-线性 motivic 维数。