[论文解读] Gerstenhaber algebra and Deligne's conjecture on Tate-Hochschild cohomology

Zhengfang Wang|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2018

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 10被引用 15

一句话总结

本文構造了一個奇異的Hochschild上鏈複形，用於計算任意域上結合代數的Tate-Hochschild上同調，方法是利用非交換微分形式。通過證明該複形具有小2-圓盤操作族的作用，從而證明了Deligne的猜想，進而使上同調具備Gerstenhaber代數結構，且對於自對射代數，還具有Batalin-Vilkovisky代數結構。

ABSTRACT

Using non-commutative differential forms, we construct a complex called singular Hochschild cochain complex for any associative algebra over a field. The cohomology of this complex is isomorphic to the Tate-Hochschild cohomology in the sense of Buchweitz. By a natural action of the cellular chain operad of the spineless cacti operad, introduced by R. Kaufmann, on the singular Hochschild cochain complex, we provide a proof of the Deligne's conjecture for this complex. More concretely, the complex is an algebra over the (dg) operad of chains of the little $2$-discs operad. By this action, we also obtain that the singular Hochschild cochain complex has a $B$-infinity algebra structure and its cohomology ring is a Gerstenhaber algebra. Inspired by the original definition of Tate cohomology for finite groups, we define a generalized Tate-Hochschild complex with the Hochschild chains in negative degrees and the Hochschild cochains in non-negative degrees. There is a natural embedding of this complex into the singular Hochschild cochain complex. In the case of a self-injective algebra, this embedding becomes a quasi-isomorphism. In particular, for a symmetric algebra, this allows us to show that the Tate-Hochschild cohomology ring, equipped with the Gerstenhaber algebra structure, is a Batalin-Vilkovisky algebra.

研究动机与目标

• 使用奇異Hochschild上鏈複形定義任意結合代數的推廣Tate-Hochschild上同調理論。
• 在該複形的上同調上建立Gerstenhaber代數結構。
• 通過證明該複形是小2-圓盤操作族的dg操作族上的代數，從而證明Deligne的猜想。
• 證明對於自對射代數，Tate-Hochschild上同調環是Batalin-Vilkovisky代數。
• 提供一個統一框架，將Hochschild上同調、Tate上同調與非交換幾何中的操作族結構聯繫起來。

提出的方法

• 將奇異Hochschild上鏈複形構造為非交換微分形式取值的Hochschild上鏈複形的餘極限。
• 利用逐次增加形式的上鏈複形之間的自然嵌入，定義總複形。
• 在奇異Hochschild上鏈複形上賦予脊椎缺失的仙人掌操作族的細胞鏈操作族的自然作用。
• 證明該複形是小2-圓盤操作族的鏈的dg操作族上的代數，從而證明Deligne的猜想。
• 在複形上引入$B_{\infty}$-代數結構，進而誘導出上同調上的Gerstenhaber代數結構。
• 定義一個推廣的Tate-Hochschild複形，其中Hochschild鏈位於負度數，上鏈位於非負度數，並自然嵌入奇異複形中。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否構造一個奇異Hochschild上鏈複形，使其計算任意結合代數的Tate-Hochschild上同調？
• RQ2 奇異Hochschild上鏈複形是否具有小2-圓盤操作族的作用，從而證明Deligne的猜想？
• RQ3 奇異Hochschild上鏈複形的上同調是否為Gerstenhaber代數？
• RQ4 對於自對射代數，Tate-Hochschild上同調環是否為Batalin-Vilkovisky代數？
• RQ5 在何種條件下，推廣的Tate-Hochschild複形到奇異複形的嵌入是擬同構？

主要发现

• 奇異Hochschild上鏈複形計算了任意域上結合代數的Tate-Hochschild上同調。
• 該複形具有脊椎缺失的仙人掌操作族的細胞鏈操作族的自然作用，實現了Deligne的猜想。
• 該複形的上同調是Gerstenhaber代數，其上乘積與Gerstenhaber括號由$B_{\infty}$-代數結構誘導而來。
• 對於自對射代數，推廣的Tate-Hochschild複形到奇異複形的嵌入是擬同構。
• 對於對稱代數，Tate-Hochschild上同調環是Batalin-Vilkovisky代數，其BV算子由奇異複形誘導而來。
• 映射$\widetilde{\iota}^*$是奇異複形的Hochschild上同調與Tate-Hochschild上同調之間的BV代數的同構。