[论文解读] Gerstenhaber-Batalin-Vilkoviski structures on coisotropic intersections

Vladimir Baranovsky, Victor Ginzburg|ArXiv.org|Jun 30, 2009

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 7被引用 8

一句话总结

该论文在光滑泊松流形 $X$ 中的共厄子簇 $Y, Z$ 的 Tor-层 $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 上建立了规范的巴塔林-维洛维斯基（BV）代数结构，该结构由 $\mathcal{O}_X$ 的非交换 $\mathbb{C}_{\varepsilon}$-形变 $\mathcal{A}$ 上结构层与模的的一阶形变所诱导。所诱导的格伦斯坦哈伯括号与形变选择无关，从而通过泊松几何与形变理论在共厄交集中提供了规范的 BV 结构。

ABSTRACT

Let Y,Z be a pair of smooth coisotropic subvarieties in a smooth algebraic Poisson variety X. We show that any data of first order deformation of the structure sheaf O_X to a sheaf of noncommutative algebras and of the sheaves O_Y and O_Z to sheaves of right and left modules over the deformed algebra, respectively, gives rise to a Batalin-Vilkoviski algebra structure on the Tor-sheaf Tor^{O_X}_*(O_Y, O_Z). The induced Gerstenhaber bracket on the Tor-sheaf turns out to be canonically defined; it is independent of the choices of deformations involved. There are similar results for Ext-sheaves as well. Our construction is motivated by, and is closely related to, a result of Behrend-Fantechi, who considered the case of Lagrangian submanifolds in a symplectic manifold.

研究动机与目标

• 在光滑泊松流形 $X$ 中的共厄子簇 $Y, Z$ 的 Tor-层 $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 上构造一个规范的巴塔林-维洛维斯基（BV）代数结构。
• 证明该 Tor-层上所诱导的格伦斯坦哈伯括号与 $\mathcal{O}_Y$ 和 $\mathcal{O}_Z$ 到 $\mathbb{C}_{\varepsilon}$-形变 $\mathcal{A}$ 上模的一阶形变选择无关。
• 将构造推广至 Ext-层，并证明在自交情形下 BV 微分源于泊松双向量在法丛上的作用。
• 在自交情形下，通过 BV 微分在余法丛的外代数上的作用，提供泊松上同调与同调的几何实现。

提出的方法

• 利用 $\mathcal{O}_X$ 的平坦 $\mathbb{C}_{\varepsilon}$-形变 $\mathcal{A}$，使得 $\mathcal{A}$ 中的交换子诱导出 $\mathcal{O}_X$ 上给定的泊松括号。
• 通过 $\mathcal{O}_Y$ 和 $\mathcal{O}_Z$ 到右和左 $\mathcal{A}$-模的相容一阶形变，构造 $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 上的二阶微分算子 $\delta$。
• 通过李括号公式 $[x,y] = \delta(xy) - \delta(x)y - (-1)^{\deg x}x\delta(y)$ 定义 BV 微分 $\delta$，确保 $\delta^2 = 0$ 且 $\delta$ 的阶数 $\leq 2$。
• 通过证明不同局部形变提升之间的差异在上同调中为余边界，建立格伦斯坦哈伯括号与形变选择无关。
• 在自交情形 $Y = Z$ 中应用该构造，证明 $\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) \cong \mathsf{\Lambda}^\bullet(N_{X/Y})$ 上的 BV 微分由泊松双向量在余法丛上的作用给出。
• 利用 Hochschild 上同调的李括号与子代数 $\mathcal{K} \subset \mathsf{\Lambda}^\bullet(T_X)$（即在 $Y$ 上消失的向量场）的作用，全局定义微分。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过形变量化在泊松流形中两个共厄子簇的 Tor-层上定义规范的 BV 代数结构？
• RQ2 所诱导的 Tor-层上的格伦斯坦哈伯括号是否与结构层与模结构的一阶形变选择无关？
• RQ3 在自交情形下，Ext-层 $\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y)$ 上的 BV 微分如何与泊松双向量相关？
• RQ4 当 $Y = Z$ 为共厄子簇时，BV 结构能否在余法丛的外代数上全局定义？
• RQ5 BV 微分在泊松几何与法丛上李代数作用下的几何解释是什么？

主要发现

• 在形变可延拓至二阶的条件下，Tor-层 $\mathscr{T}\!\!\!\text{or}^{{\mathcal{O}}_X}_{\bullet}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Z)$ 通过 $\mathcal{O}_Y$ 与 $\mathcal{O}_Z$ 到 $\mathcal{A}$-模的相容一阶形变，继承了规范的 BV 代数结构。
• 所诱导的格伦斯坦哈伯括号与形变选择无关，因此是共厄子簇与泊松结构的规范不变量。
• 在自交情形 $Y = Z$ 下，$\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y) \cong \mathsf{\Lambda}^\bullet(N_{X/Y})$ 上的 BV 微分由泊松双向量在余法丛上的作用给出。
• $\mathscr{E}\!\!\!\text{xt}^\bullet_{\mathcal{O}_X}(\mathcal{O}_Y, \mathcal{O}_Y)$ 上的 BV 微分 $\delta^\prime$ 全局良好定义，且源于 Hochschild 上同调的李括号，其表达式为 $\delta^\prime(\gamma_B) = [\alpha_A \oplus \alpha_B, 0 \oplus \gamma_B]$。
• 该构造将 Behrend-Fantechi 在辛流形中对拉格朗日子簇交的成果推广至共厄情形，借助形变量化与泊松几何实现。
• BV 微分 $\delta$ 的同调对应泊松同调，而 $\delta^\prime$ 的上同调对应泊松上同调，从而将该构造与经典不变量联系起来。