[论文解读] Getting a handle on contact manifolds

Kevin Sackel|arXiv (Cornell University)|May 28, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 28被引用 5

一句话总结

该论文利用凸结构，为任意维数的接触流形发展了一套手术理论，扩展了Giroux的三维理论。它证明了每个凸接触cobordism都严格凸同伦等价于一个凸接触胞腔复形，并且证明了光滑可消去的穿刺操作——具体而言，一个Legendrian曲线及其Reeb平移，若具有相容的Lagrangian和环形填充，则在凸接触同伦下可消去，为通过胞腔分解研究接触刚性与柔性奠定了基础。

ABSTRACT

We develop the details of a surgery theory for contact manifolds of arbitrary dimension via convex structures, extending the 3-dimensional theory developed by Giroux. The theory is analogous to that of Weinstein manifolds in symplectic geometry, with the key difference that the vector field does not necessarily have positive divergence everywhere. The surgery theory for contact manifolds contains the surgery theory for Weinstein manifolds via a sutured model for attaching critical points of low index. Using this sutured model, we show that the existence of convex structures on closed contact manifolds is guaranteed, a result equivalent to the existence of supporting Weinstein open book decompositions.

研究动机与目标

• 将Giroux的三维接触手术理论推广至任意维数，使用凸接触cobordism。
• 建立类似于Weinstein的辛胞腔分解的接触流形系统性手术理论。
• 证明闭合接触流形上凸结构的存在性是保证的，等价于存在支持的Weinstein开书分解。
• 刻画接触胞腔的光滑可消去附着数据，特别是涉及Legendrian纽结及其Reeb平移的情形。
• 阐明高维中bypass附着与开书分解之间的关系。

提出的方法

• 将凸接触cobordism定义为四元组 $(M^{2n+1}, \xi, X, \phi)$，其中 $X$ 是横截于边界且 $\phi$ 是以 $X$ 为伪梯度的Morse函数。
• 在 $\mathbb{R}^{2n+1}$ 上使用显式接触形式和向量场，构造索引 $k$（$0 \leq k \leq n$）的临界点的标准化模型（亚临界）和索引 $n+1 \leq k \leq 2n+1$ 的临界点的标准化模型（超临界）。
• 利用这些模型定义标准胞腔 $H_k$，并证明任意凸接触结构在良好同伦下局部等价于这些模型。
• 通过分隔集中的带框架的孤立子流形（亚临界胞腔）和平衡共厄子流形（超临界胞腔）来刻画胞腔附着。
• 证明一对胞腔——在Legendrian $\Lambda_n$ 上的 $n$-胞腔和在其Reeb平移 $\Lambda_{n+1}$ 上的 $(n+1)$-胞腔——若具有相容的Lagrangian和环形填充，则在凸接触同伦下可消去。
• 表明该消去模型与Honda和Huang的其中一种平凡bypass附着一致，而另一种模型可通过胞腔滑动与之同伦。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于凸结构发展出类似于辛几何中Weinstein理论的高维接触流形手术理论？
• RQ2 接触流形存在凸结构的充要条件是什么？其与支持的开书分解有何关系？
• RQ3 哪些接触胞腔附着数据对构成光滑可消去对？它们与bypass附着有何关联？
• RQ4 Reeb动力学和填充结构（Lagrangian圆盘、环形填充）如何影响凸接触cobordism中临界点的消去？
• RQ5 所有光滑可消去附着数据是否都等价于平凡bypass？是否存在非平凡例子？

主要发现

• 每个凸接触cobordism都严格凸同伦等价于一个凸接触胞腔复形，为该理论奠定了基础性结果。
• 一对胞腔——在Legendrian $\Lambda_n$ 上的 $n$-胞腔和在其正Reeb平移 $\Lambda_{n+1}$ 上的 $(n+1)$-胞腔——若具有相容的Lagrangian和环形填充，则在凸接触同伦下可消去。
• 在分隔集上，Reeb向量场从 $\Lambda_n$ 流向 $\Lambda_{n+1}$，确认了消去的方向性以及模型的几何一致性。
• 对 $\Lambda_n \cup \Lambda_{n+1}$ 的标准环形填充和对 $\Lambda_{n+1}$ 的Lagrangian圆盘填充均具有标准邻域，确保了附着数据的局部等价性。
• 该消去模型与Honda和Huang的其中一种平凡bypass附着一致，而另一种模型可通过胞腔滑动与之同伦，确认了与现有bypass理论的一致性。
• 该理论为通过胞腔分解理解接触刚性与柔性提供了框架，潜在应用于伪全纯不变量与亚柔性现象。