[论文解读] Getting path integrals physically and technically right

Steven Kenneth Kauffmann|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2009

Quantum Mechanics and Applications参考文献 2被引用 5

一句话总结

该论文通过严格重构费曼的哈密顿相空间路径积分，将其重新表述为通过无约束二阶导数实现的普通函数积分，从而解决了量子力学正则化中长期存在的歧义问题。该方法可对时间一阶展开下实现无歧义的计算，得出唯一且物理一致的哈密顿量正则化形式，从而解决长期存在的排序歧义问题，并与强化后的正则对易关系保持一致。

ABSTRACT

Feynman's Lagrangian path integral was an outgrowth of Dirac's vague surmise that Lagrangians have a role in quantum mechanics. Lagrangians implicitly incorporate Hamilton's first equation of motion, so their use contravenes the uncertainty principle, but they are relevant to semiclassical approximations and relatedly to the ubiquitous case that the Hamiltonian is quadratic in the canonical momenta, which accounts for the Lagrangian path integral's "success". Feynman also invented the Hamiltonian phase-space path integral, which is fully compatible with the uncertainty principle. We recast this as an ordinary functional integral by changing direct integration over subpaths constrained to all have the same two endpoints into an equivalent integration over those subpaths' unconstrained second derivatives. Function expansion with generalized Legendre polynomials of time then enables the functional integral to be unambiguously evaluated through first order in the elapsed time, yielding the Schroedinger equation with a unique quantization of the classical Hamiltonian. Widespread disbelief in that uniqueness stemmed from the mistaken notion that no subpath can have its two endpoints arbitrarily far separated when its nonzero elapsed time is made arbitrarily short. We also obtain the quantum amplitude for any specified configuration or momentum path, which turns out to be an ordinary functional integral over, respectively, all momentum or all configuration paths. The first of these results is directly compared with Feynman's mistaken Lagrangian-action hypothesis for such a configuration path amplitude, with special heed to the case that the Hamiltonian is quadratic in the canonical momenta.

研究动机与目标

• 解决路径积分正则化中长期存在的歧义，特别是针对一般经典哈密顿量中算符排序不唯一的问题。
• 证明哈密顿相空间路径积分（与拉格朗日路径积分不同）完全兼容不确定性原理，并能给出唯一正则化结果。
• 表明由相空间路径积分导出的唯一正则化结果，与狄拉克正则对易关系的稍强版本所导出的结果完全一致。
• 澄清并纠正关于路径积分物理有效性的普遍误解，特别是关于时间间隔任意短的子路径与固定端点的争议。
• 为指定的构型路径或动量路径，提供量子振幅的正式、无歧义的推导，作为普通函数积分。

提出的方法

• 通过用无约束二阶导数替代对固定端点子路径的直接积分，重构哈密顿相空间路径积分。
• 利用时间的广义勒让德多项式展开参数化路径变分，从而实现函数积分的显式计算。
• 将所得函数积分在时间一阶展开下进行求值，得出时间演化算符与薛定谔方程。
• 应用该方法计算指定构型路径或动量路径的量子振幅，作为对所有此类路径的函数积分。
• 将所得构型路径振幅与费曼的错误拉格朗日作用量假说进行比较，特别是在二次哈密顿量情形下。
• 利用经典可观测量的傅里叶展开与路径积分结果，推导出任意函数 F(q,p) 在构型表象下的矩阵元。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何拉格朗日路径积分无法提供唯一正则化？这与不确定性原理有何关联？
• RQ2 哈密顿相空间路径积分能否被重构为普通函数积分，以实现无歧义的计算？
• RQ3 人们对路径积分正则化唯一性普遍持怀疑态度的物理基础是什么？如何解决这一问题？
• RQ4 由哈密顿相空间路径积分导出的正则化结果，与狄拉克正则对易关系的强化版本结果相比如何？
• RQ5 指定构型路径或动量路径的正确函数积分表示为何种形式？

主要发现

• 当通过无约束二阶导数与广义勒让德多项式展开重构哈密顿相空间路径积分时，可唯一地导出经典哈密顿量的正则化形式，并得到薛定谔方程。
• 由路径积分导出的唯一正则化结果，与通过狄拉克正则对易关系稍强版本导出的结果完全一致，从而解决了长期存在的排序歧义问题。
• 指定构型路径的量子振幅正确地由所有此类路径的普通函数积分给出，与费曼错误的拉格朗日作用量假说相反，后者甚至在二次哈密顿量情形下也失败。
• 指定动量路径的振幅也作为所有动量路径的普通函数积分被推导出来，证实了该方法的形式一致性。
• 该方法解决了关于固定端点子路径无法存在于任意短时间间隔的误解，因为无论时间持续多久，此类子路径始终存在无穷多个。
• 结果表明，玻恩-约当正则化规则自然地从哈密顿相空间路径积分中浮现，与克纳和萨特克利夫的独立研究结果一致，尽管他们的成果因不愿卷入学术争议而未发表。