[论文解读] GF(2^m) Low-Density Parity-Check Codes Derived from Cyclotomic Cosets

Cen Jung Tjhai, Martin Tomlinson+3 more|ArXiv.org|Feb 7, 2005

Error Correcting Code Techniques参考文献 15被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于分圆陪集、幂等元和Mattson-Solomon多项式的GF(2^m)循环低密度奇偶校验（LDPC）码的新型代数构造方法。通过将分圆幂等元相加以构成对偶码幂等元，该方法能够系统地控制码的维度和校验矩阵的稀疏度，从而生成具有高最小距离的码，且在短码长下性能距离球形打包界仅0.2 dB。

ABSTRACT

Based on the ideas of cyclotomic cosets, idempotents and Mattson-Solomon polynomials, we present a new method to construct GF(2^m), where m>0 cyclic low-density parity-check codes. The construction method produces the dual code idempotent which is used to define the parity-check matrix of the low-density parity-check code. An interesting feature of this construction method is the ability to increment the code dimension by adding more idempotents and so steadily decrease the sparseness of the parity-check matrix. We show that the constructed codes can achieve performance very close to the sphere-packing-bound constrained for binary transmission.

研究动机与目标

• 开发一种系统化方法，用于构造GF(2^m)上的非二元LDPC码，使其具备循环特性并适用于短码长应用。
• 通过逐步增加幂等元，实现对码维度和校验矩阵稀疏度的控制。
• 利用BCH界提供最小距离的下界，克服非规则LDPC码构造中的一项局限性。
• 尽管使用非二元符号，仍实现接近二元码理论球形打包界的性能。
• 通过循环结构支持低复杂度编码，有利于数据存储和无线系统中的实际应用。

提出的方法

• 该方法通过将对应于特定陪集代表元的分圆幂等元相加，构造GF(2^m) LDPC码。
• 通过对偶码幂等元通过Mattson-Solomon多项式变换获得，该变换将幂等元映射为校验多项式。
• 校验矩阵由该多项式的系数构成，其稀疏度由所添加幂等元的数量控制。
• 利用应用于校验多项式根的BCH界，对最小距离进行下界估计。
• 通过包含或排除幂等元，可系统化调节码率，实现稀疏度与维度之间的权衡。
• 该方法推广至GF(2^m)上的非二元码，性能通过迭代置信传播译码进行评估。

实验结果

研究问题

• RQ1 分圆陪集和幂等元能否用于系统化构造GF(2^m)上的非二元LDPC码，以实现对码维度和稀疏度的控制？
• RQ2 多个幂等元的引入如何影响所生成LDPC码的稀疏度和性能？
• RQ3 能否利用BCH界等代数工具有效下界估计所构造码的最小距离？
• RQ4 这些码在等效长度和码率下，能在多大程度上实现接近二元码球形打包界的性能？
• RQ5 码的代数结构能否在保持良好迭代译码收敛性的同时，实现低复杂度编码？

主要发现

• GF(2^6)(21,15)循环LDPC码在126比特二元码的球形打包界内0.2 dB处达到10^-3帧错误率。
• GF(2^2)(255,175)循环LDPC码在510比特等效二元码下，10^-3 FER时性能约为距离球形打包界0.36 dB。
• GF(2^3)(91,63)循环LDPC码尽管存在长度为4的环，但在273比特等效二元码下性能距离球形打包界仅0.35 dB。
• 该方法可通过逐步添加幂等元，实现对码维度和校验矩阵稀疏度的系统化控制。
• 利用BCH界可有效对码的最小距离进行下界估计，相较于非规则码构造具有显著优势。
• 这些码表现出优异的迭代译码收敛性，并由于其循环结构支持低复杂度线性移位寄存器编码。