[论文解读] Gibbs measures of disordered lattice systems with unbounded spins

Yuri Kondratiev, Yuri Kozitsky+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 16, 2010

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 26被引用 5

一句话总结

该论文证明了在 ℤ^d 上具有无界自旋和无界对相互作用的随机晶格系统中，Gibbs测度的存在性与可测性。通过引入用于自旋和相互作用强度的加权 ℓ^p 和 ℓ^q 空间，作者证明了弱紧致性、一致可积性以及可测选择的存在性，从而得出在 quenched disorder 下，经验 Gibbs 测度和 metastates 几乎必然存在弱极限。

ABSTRACT

The Gibbs measures of a spin system on $Z^d$ with unbounded pair interactions $J_{xy} σ(x) σ(y)$ are studied. Here $\langle x, y angle \in E $, i.e. $x$ and $y$ are neighbors in $Z^d$. The intensities $J_{xy}$ and the spins $σ(x) , σ(y)$ are arbitrary real. To control their growth we introduce appropriate sets $J_q\subset R^E$ and $S_p\subset R^{Z^d}$ and prove that for every $J = (J_{xy}) \in J_q$: (a) the set of Gibbs measures $G_p(J)= \{μ: solves DLR, μ(S_p)=1\}$ is non-void and weakly compact; (b) each $μ\inG_p(J)$ obeys an integrability estimate, the same for all $μ$. Next we study the case where $J_q$ is equipped with a norm, with the Borel $σ$-field $B(J_q)$, and with a complete probability measure $ν$. We show that the set-valued map $J \mapsto G_p(J)$ is measurable and hence there exist measurable selections $J_q i J \mapsto μ(J) \in G_p(J)$, which are random Gibbs measures. We prove that the empirical distributions $N^{-1} \sum_{n=1}^N π_{Δ_n} (\cdot| J, ξ)$, obtained from the local conditional Gibbs measures $π_{Δ_n} (\cdot| J, ξ)$ and from exhausting sequences of $Δ_n \subset Z^d$, have $ν$-a.s. weak limits as $N ightarrow +\infty$, which are random Gibbs measures. Similarly, we prove the existence of the $ν$-a.s. weak limits of the empirical metastates $N^{-1} \sum_{n=1}^N δ_{π_{Δ_n} (\cdot| J,ξ)}$, which are Aizenman-Wehr metastates. Finally, we prove the existence of the limiting thermodynamic pressure under some further conditions on $ν$.

研究动机与目标

• 解决无序晶格系统中无界随机相互作用的 Gibbs 场缺乏系统处理的问题。
• 将 Gibbs 测度理论扩展至无界自旋的场景，超越标准有界相互作用的情形。
• 通过从 Gibbs 测度的集值映射中构造可测选择，证明随机 Gibbs 测度的存在性。
• 在 quenched disorder 下，建立经验 Gibbs 测度和 Aizenman-Wehr metastates 几乎必然存在的弱极限。
• 为该无界相互作用模型推导第一 GKS 不等式的版本，以支持主要估计。

提出的方法

• 引入用于控制无界自旋和相互作用强度增长的加权 ℓ^p 和 ℓ^q 空间 𝒮_p 和 𝒥_q。
• 使用专为无界自旋模型设计的新版本第一 GKS 不等式，推导一致可积性估计。
• 对每个固定的相互作用 J ∈ 𝒥_q，证明 Gibbs 测度的弱紧致性与一致可积性。
• 对映射 J ↦ 𝒢_p(J) 应用可测选择定理，确保随机 Gibbs 测度 μ(J) 的存在性。
• 利用 Komlós 定理，证明在耗尽序列下经验测度和 metastates 几乎必然弱收敛。
• 在对无序测度 ν 的附加条件下，建立 quenched 热力学压强的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有无界自旋和无界对相互作用的无序晶格系统，是否存在 Gibbs 测度？
• RQ2 当相互作用强度为随机且无界时，能否构造 Gibbs 测度的可测选择？
• RQ3 在 quenched disorder 下，经验 Gibbs 测度和 Aizenman-Wehr metastates 是否几乎必然收敛？
• RQ4 是否存在对所有 J ∈ 𝒥_q 均成立的 Gibbs 测度的一致可积性估计？
• RQ5 能否为该无界相互作用模型建立第一 GKS 不等式的版本？

主要发现

• 对每个 J ∈ 𝒥_q，Gibbs 测度集合 𝒢_p(J) 非空且弱紧致。
• 每个 μ ∈ 𝒢_p(J) 满足一致可积性估计：∫ exp(λ‖σ‖_p^p) dμ(σ) ≤ exp(Υ₁(λ) + Υ₂(λ)‖J‖_q^q)。
• 存在可测选择 J ↦ μ(J)，使得 μ(J) 几乎必然关于 ν 是随机 Gibbs 测度。
• 当 N → ∞ 时，经验测度 N⁻¹∑ₙ₌₁ᴺ π_Δₙ(·|J,ξ) 几乎必然弱收敛，从而生成随机 Gibbs 测度。
• 经验 metastates N⁻¹∑ₙ₌₁ᴺ δ_{π_Δₙ(·|J,ξ)} 也几乎必然弱收敛，从而生成 Aizenman-Wehr metastates。
• 在对 ν 的附加条件下，quenched 热力学压强作为有限体积压强的极限存在。