[论文解读] Gibbs States and the Consistency of Local Density Matrices

Yi-Kai Liu|ArXiv.org|Mar 2, 2006

Quantum Information and Cryptography参考文献 5被引用 3

一句话总结

该论文证明，对于n量子比特量子系统，任意一组一致的局部密度矩阵均可由吉布斯态——即形式为σ′ = (1/Z)exp(∑Mi)的热平衡态——实现模拟，其中每个Mi作用于相应的子系统。关键结果表明，若局部密度矩阵与某个正定全局态一致，则它们也与一个吉布斯态一致，即使可观测量不满足对易关系。

ABSTRACT

Suppose we have an n-qubit system, and we are given a collection of local density matrices rho_1,...,rho_m, where each rho_i describes some subset of the qubits. We say that rho_1,...,rho_m are "consistent" if there exists a global state sigma (on all n qubits) whose reduced density matrices match rho_1,...,rho_m. We prove the following result: if rho_1,...,rho_m are consistent with some state sigma > 0, then they are also consistent with a state sigma' of the form sigma' = (1/Z) exp(M_1+...+M_m), where each M_i is a Hermitian matrix acting on the same qubits as rho_i, and Z is a normalizing factor. (This is known as a Gibbs state.) Actually, we show a more general result, on the consistency of a set of expectation values ,...,, where the observables T_1,...,T_r need not commute. This result was previously proved by Jaynes (1957) in the context of the maximum-entropy principle; here we provide a somewhat different proof, using properties of the partition function.

研究动机与目标

• 确定量子系统中的局部密度矩阵是否可由全局吉布斯态实现模拟。
• 确立局部量子数据与全局量子态一致的条件。
• 将杰恩斯的最大熵原理推广至有限量子系统中的非对易可观测量。
• 证明当存在某个正定全局态时，吉布斯态的可行性可得到保证。

提出的方法

• 将局部密度矩阵的一致性形式化为重叠子系统之间约化密度矩阵的匹配。
• 将一致性问题重新表述为泡利算符期望值上的约束满足问题。
• 利用配分函数和凸性论证证明最小化吉布斯态的存在性。
• 应用变分法证明配分函数在无穷远处趋于无穷大，从而保证最小值的存在。
• 证明配分函数的最小值对应于满足所有局部约束的吉布斯态。
• 将局部密度矩阵一致性问题约化为一组泡利期望值约束，然后应用定理2。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何一组一致的局部密度矩阵是否都能由吉布斯态表示？
• RQ2 当存在一个正定全局态时，是否足以保证存在一个匹配所有局部约束的吉布斯态？
• RQ3 最大熵原理是否可推广至有限量子系统中的非对易可观测量？
• RQ4 即使可观测量不满足对易关系，是否也能通过吉布斯态保证局部量子数据的一致性？
• RQ5 配分函数在确保吉布斯态对局部约束的可行性中起什么作用？

主要发现

• 若局部密度矩阵ρ₁,…,ρₘ与某个正定全局态σ一致，则它们也与一个吉布斯态σ′ = (1/Z)exp(∑Mi)一致，其中每个Mi作用于对应的子系统。
• 即使可观测量（如泡利矩阵）不满足对易关系，该结果依然成立，从而将杰恩斯的最大熵原理推广至非对易约束。
• 满足局部约束的全局态的存在性意味着存在一个具有相同局部特性的吉布斯态。
• 当‖θ‖ → ∞时，配分函数ψ(θ) → ∞，从而确保最小值的存在，该最小值对应于可行的吉布斯态。
• 配分函数的最小值在有限点处取得，且该点梯度为零，从而确认了解的存在性。
• 该证明将问题约化为泡利期望值，表明局部密度矩阵的一致性等价于在相应子系统上匹配所有泡利算符的期望值。