[论文解读] Gibbsian and non-Gibbsian properties of the generalized mean-field fuzzy Potts-model

Benedikt Jahnel, Kuelske, Christof+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 18, 2013

Theoretical and Computational Physics参考文献 30被引用 15

一句话总结

该论文通过将二次相互作用替换为更高阶的幂 $ z \geq 2 $，推广了平均场 Potts 模型，证明了在广义 Ellis-Wang 定理下一阶相变的持久性。此外，进一步表明，当且仅当逆温度 $ \beta \geq \beta_c(r_*, z) $ 时，所得的模糊 Potts 模型是非 Gibbsian 的，其临界行为取决于最小类大小 $ r_* $，并揭示了在时变坍缩方案下 Gibbsianness 可能出现多重相变。

ABSTRACT

We analyze the generalized mean-field q-state Potts model which is obtained by replacing the usual quadratic interaction function in the mean-field Hamiltonian by a higher power z. We first prove a generalization of the known limit result for the empirical magnetization vector of Ellis and Wang which shows that in the right parameter regime, the first-order phase-transition persists. Next we turn to the corresponding generalized fuzzy Potts model which is obtained by decomposing the set of the q possible spin-values into 1 < s < q classes and identifying the spins within these classes. In extension of earlier work which treats the quadratic model we prove the following: The fuzzy Potts model with interaction exponent bigger than four (respectively bigger than two and smaller or equal four) is non-Gibbs if and only if its inverse temperature is larger or equal than the critical inverse temperature of the corresponding Potts model with number of spin-labels equal to the size of the smallest class which is greater or equal than two (respectively greater or equal than three.) We also provide a dynamical interpretation considering sequences of fuzzy Potts models which are obtained by increasingly collapsing classes at finitely many times and discuss the possibility of a multiple in- and out of Gibbsianness, depending on the collapsing scheme.

研究动机与目标

• 将 Ellis-Wang 定理推广至相互作用指数 $ z \geq 2 $ 的广义平均场 Potts 模型，证明一阶相变的持久性。
• 分析从广义 Potts 模型通过粗粒化得到的模糊 Potts 模型的 Gibbs 性质，尤其关注 $ z $ 变化时的情形。
• 表征非 Gibbsianness 出现的临界逆温度 $ \beta_c(r_*, z) $，其依赖于最小类大小 $ r_* $。
• 通过时变类坍缩方案引入动力学框架，并研究 Gibbsianness 中的多相变行为。

提出的方法

• 通过用 $ z $ 次幂项替代二次相互作用，推广平均场哈密顿量，从而得到依赖于经验测度的自由能泛函。
• 应用 Ellis 和 Wang 证明技术的扩展，通过对称性约化将自由能分析简化为一维问题。
• 对自由能进行详细的分岔分析，以识别相变类型（一阶与二阶）并定位临界点。
• 使用 Edwards-Sokal 耦合，将广义 Potts 模型与广义随机簇测度（RCM）联系起来，将相变与 $ z $-团配置中的渗滤联系起来。
• 引入离散时间坍缩方案 $ \mathcal{A}_t $，其中自旋类按顺序合并，以模拟动力学粗粒化并研究轨迹依赖的 Gibbsianness。
• 采用大偏差启发式方法和基于 RCM 的方差估计，表明 Potts 模型中的相变对应于 RCM 中的渗滤，其缩放关系为 $ p \sim \lambda / N^{z-1} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于相互作用指数 $ z \geq 2 $ 的广义平均场 Potts 模型，其是否表现出与标准情况类似的 一阶相变？
• RQ2 从广义 Potts 模型通过粗粒化得到的模糊 Potts 模型，在何种条件下是非 Gibbsian 的？
• RQ3 临界逆温度 $ \beta_c(r_*, z) $ 如何依赖于最小类大小 $ r_* $ 和相互作用指数 $ z $？
• RQ4 在时变粗粒化过程中，是否可能因坍缩方案不同而出现 Gibbsian 与非 Gibbsian 行为之间的多重转变？

主要发现

• 当 $ z > 4 $ 时，具有 $ q > 2 $ 的广义平均场 Potts 模型表现出一阶相变，将 Ellis-Wang 结果推广至更高阶相互作用。
• 当 $ z > 4 $ 时，模糊 Potts 模型当且仅当 $ \beta \geq \beta_c(r_*, z) $ 时是非 Gibbsian 的，其中 $ r_* \geq 2 $ 为最小类的大小。
• 当 $ 2 < z \leq 4 $ 时，非 Gibbsianness 出现在 $ \beta \geq \beta_c(r_*, z) $ 时，且要求 $ r_* \geq 3 $，表明对类大小有更严格的条件。
• 在 $ q = 2, z = 4 $ 处识别出三相点，相变由二阶变为一阶，表明存在非平凡的临界行为。
• 经验磁化强度的方差当且仅当广义 RCM 中的最大分量变为次扩展时消失，将相变与渗滤联系起来。
• 在时变坍缩方案下，系统可能因类坍缩的序列不同而表现出多重进入和离开 Gibbsianness 的行为，这与标准时间演化 Gibbs 测度不同。