[论文解读] Gibbsianness versus Non-Gibbsianness of time-evolved planar rotor models

Aernout C. D. van Enter, Wioletta M. Ruszel|ArXiv.org|Nov 22, 2007

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 9被引用 4

一句话总结

本论文研究了在 ℤᵈ（d ≥ 2）上时间演化后的平面转子系统在随机动力学下的吉布斯性，将自旋建模为在圆周上的布朗运动扩散。结果表明，对于小时间或高温/零温初始状态与动力学，演化测度保持吉布斯性；但在 d=2 时，若初始测度为低温而动力学为无限温，则演化测度在一段时间区间内失去吉布斯性，这是由动态场引发的隐藏相变所致。

ABSTRACT

We study the Gibbsian character of time-evolved planar rotor systems on Z^d, d at least 2, in the transient regime, evolving with stochastic dynamics and starting with an initial Gibbs measure. We model the system by interacting Brownian diffusions, moving on circles. We prove that for small times and arbitrary initial Gibbs measures ν, or for long times and both high- or infinite-temperature measure and dynamics, the evolved measure ν^t stays Gibbsian. Furthermore we show that for a low-temperature initial measure ν, evolving under infinite-temperature dynamics thee is a time interval (t_0, t_1) such that ν^t fails to be Gibbsian in d=2.

研究动机与目标

• 确定平面转子系统在随机动力学下时间演化测度是否保持吉布斯性。
• 分析初始温度、动力学温度与吉布斯性在瞬态区间中的相互作用。
• 识别在随机时间演化过程中吉布斯性丧失或保持的条件。
• 通过反射正性和条件概率技术，将离散自旋的已知结果推广至连续紧致自旋（在圆周上）。

提出的方法

• 将系统建模为在圆周上的相互作用布朗运动扩散，自旋在 ℤᵈ 上随机演化。
• 利用反射正性分析对称性破缺，并在无限体积极限下构造正交吉布斯测度。
• 在右半平面或左半平面存在唯一无限簇的条件下，定义条件概率。
• 应用 DLR 公理形式化，通过存在可 summable 相互作用势来表征吉布斯性。
• 利用系统在反射 r₁ 下的对称性，证明对称性破缺意味着非吉布斯性。
• 利用尾事件在偶数平移下不变的性质，证明条件测度为吉布斯性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，平面转子系统的时间演化测度保持吉布斯性？
• RQ2 在无限温动力学下，连续紧致自旋系统中是否可能出现非吉布斯性？
• RQ3 在 d=2 中，低温初始测度在无限温动力学下演化时，吉布斯性是否仍然保持？
• RQ4 在连续紧致自旋模型中，吉布斯性的丧失是否可逆，如同在离散自旋系统中那样？
• RQ5 反射正性是否可用于检测时间演化连续自旋系统中的相变？

主要发现

• 对于小时间 t 和任意初始吉布斯测度 ν，时间演化测度 νᵗ 保持吉布斯性。
• 对于长时间和高温或无限温动力学，νᵗ 即使初始温度任意，也保持吉布斯性。
• 在 d=2 中，低温初始测度 ν 在无限温动力学下演化时，会在一段时间区间 (t₀, t₁) 内导致非吉布斯性。
• 非吉布斯性源于动态场引发的隐藏相变，破坏了反射对称性 r₁。
• 在右半平面或左半平面存在无限簇的条件下，条件测度 νᵗ,ri 和 νᵗ,le 互相正交且为吉布斯性，表明对称性破缺。
• 该结果对任意平移不变的初始吉布斯测度均成立，包括具有无穷多个纯态的测度。