[论文解读] Ginzburg-Landau Theory with Multiple Order Parameters: Microscopic Derivation and Examples

Rupert L. Frank, Marius Lemm|arXiv (Cornell University)|Apr 27, 2015

Physics of Superconductivity and Magnetism参考文献 30被引用 2

一句话总结

本文从BCS理论出发，对平移不变系统进行微观推导，得出具有多个序参量的Ginzburg-Landau（GL）理论，表明有效能隙算符 $K_{T_c}+V$ 的简并基态导致了具有 $n$ 个序参量的耦合GL理论。关键结果是构造了球对称相互作用 $V$，使其能产生任意角动量的基态子空间，这与Schrödinger算符的非简并基态形成对比。

ABSTRACT

This paper consists of three parts. In part I, we microscopically derive Ginzburg--Landau (GL) theory from BCS theory for translation-invariant systems in which multiple types of superconductivity may coexist. Our motivation are unconventional superconductors. We allow the ground state of the effective gap operator $K_{T_c}+V$ to be $n$-fold degenerate and the resulting GL theory then couples $n$ order parameters. In part II, we study examples of multi-component GL theories which arise from an isotropic BCS theory. We study the cases of (a) pure $d$-wave order parameters and (b) mixed $(s+d)$-wave order parameters, in two and three dimensions. In part III, we present explicit choices of spherically symmetric interactions $V$ which produce the examples in part II. In fact, we find interactions $V$ which produce ground state sectors of $K_{T_c}+V$ of arbitrary angular momentum, for open sets of of parameter values. This is in stark contrast with Schrodinger operators $- abla^2+V$, for which the ground state is always non-degenerate. Along the way, we prove the following fact about Bessel functions: At its first maximum, a half-integer Bessel function is strictly larger than all other half-integer Bessel functions.

研究动机与目标

• 为具有共存超导序参量的非传统超导体中的多组分Ginzburg-Landau理论建立微观框架。
• 解决在简单情况之外，多序参量GL理论缺乏系统性微观推导的问题。
• 构造显式的相互作用 $V$，使其在有效能隙算符 $K_{T_c}+V$ 中产生任意角动量的简并基态。
• 证明此类相互作用在参数值的开集上存在，从而实现稳定的多组分超导相。

提出的方法

• 通过分析有效能隙算符 $K_{T_c}+V$ 的 $n$ 重简并基态，从BCS理论推导出Ginzburg-Landau理论。
• 使用二阶微扰理论，将BCS哈密顿量映射为具有 $n$ 个序参量的多组分GL理论。
• 构造显式的球对称相互作用 $V$，使其在 $K_{T_c}+V$ 中产生任意角动量的基态子空间。
• 使用泛函分析技术与贝塞尔函数恒等式分析 $K_{T_c}+V$ 的谱性质。
• 证明：在第一个极大值处，半整数阶贝塞尔函数的值严格大于所有其他半整数阶贝塞尔函数的值。
• 将推导出的GL理论应用于研究二维和三维中的 (s+d)-波与纯d-波超导态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从BCS理论出发，对具有简并超导序参量的系统实现多组分Ginzburg-Landau理论的微观推导？
• RQ2 哪些类型的球对称相互作用 $V$ 可以在有效能隙算符 $K_{T_c}+V$ 中产生任意角动量的基态子空间？
• RQ3 由此产生的多组分GL理论如何描述二维和三维中d-波与(s+d)-波超导态的共存？
• RQ4 为何 $K_{T_c}+V$ 的基态简并性是可能的，即使对应的Schrödinger算符 $-\nabla^2 + V$ 的基态是非简并的？
• RQ5 贝塞尔函数不等式在证明此类相互作用 $V$ 的存在性中起什么作用？

主要发现

• 本文建立了从BCS理论到多组分Ginzburg-Landau理论的微观推导，适用于有效能隙算符 $K_{T_c}+V$ 具有 $n$ 重简并基态的系统。
• 构造了显式的球对称相互作用 $V$，使其在参数值的开集上，于 $K_{T_c}+V$ 中产生任意角动量的基态子空间。
• 该构造表明，即使对应Schrödinger算符 $-\nabla^2 + V$ 的基态是非简并的，$K_{T_c}+V$ 的简并性仍可实现。
• 一个关键的数学结果被证明：在第一个极大值处，半整数阶贝塞尔函数的值严格大于所有其他半整数阶贝塞尔函数的值。
• 推导出的GL理论能够描述二维和三维中的纯d-波与混合(s+d)-波超导态，为非传统超导性提供了理论框架。
• 结果表明，多个序参量可在微观上稳定共存，为多组分超导相提供了机制。