[论文解读] GKM theory for torus actions with non-isolated fixed points

Victor Guillemin, Tara S. Holm|ArXiv.org|Aug 1, 2003

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文通过基于固定点分支法丛的 isotropy 表示，将 GKM 理论推广至具有非孤立固定点的紧致辛流形上的哈密顿环作用。它引入了一种基于该表示中权重对线性无关性的广义 GKM 条件，并证明了流形的等变上同调同构于编码轨道结构的图的等变上同调与一个固定点分支的通常上同调的张量积，从而将经典 GKM 定理推广至非孤立固定点情形。

ABSTRACT

Let $M^{2d}$ be a compact symplectic manifold and $T$ a compact $n$-dimensional torus. A Hamiltonian action, $τ$, of $T$ on $M$ is a GKM action if, for every $p \in M^T$, the isotropy representation of $T$ on $T_pM$ has pair-wise linearly independent weights. For such an action the projection of the set of zero and one-dimensional orbits onto $M/T$ is a regular $d$-valent graph; and Goresky, Kottwitz and MacPherson have proved that the equivariant cohomology of $M$ can be computed from the combinatorics of this graph. (See \cite{GKM:eqcohom}.) In this paper we define a ``GKM action with non-isolated fixed points'' to be an action, $τ$, of $T$ on $M$ with the property that for every connected component, $F$ of $M^T$ and $ p \in F$ the isotropy representation of $T$ on the normal space to $F$ at $p$ has pair-wise linearly independent weights. For such an action, we show that all components of $M^T$ are diffeomorphic and prove an analogue of the theorem above.

研究动机与目标

• 将 GKM 理论推广至固定点集不一定是孤立的情形下的哈密顿环作用。
• 基于每个固定点分支法空间中权重的两两线性无关性，定义一种新的 GKM 条件。
• 建立流形的等变上同调与图上同调和固定点分支上同调张量积之间的上同调同构。
• 证明所有固定点分支彼此微分同胚，并且一维轨道闭包构成一个正则、带标签的图。
• 探讨该广义框架的几何与拓扑含义，包括自旋结构不变量与纤维丛结构。

提出的方法

• 通过要求每个固定点分支法空间上的 isotropy 表示具有两两线性无关的权重，定义具有非孤立固定点的 GKM 作用。
• 从一维轨道闭包和固定点分支构造一个带标签的正则 (d−m)-价图 Γ，边标签由 isotropy 权重给出。
• 定义带标签图的等变上同调环 H(Γ, α)，推广经典 GKM 构造。
• 证明流形的等变上同调 H_T(M) 同构于 H(Γ, α) ⊗ H(F)，其中 F 为任意固定点分支。
• 利用 Morse 理论与自旋结构，定义同态 Θ: π₁(Γ, F) → Diff(F)（在 Kähler 情形下为 Bihol(F)），以度量 M 不是纤维积的失败程度。
• 证明每个一维轨道闭包 W_i 微分同胚于 ℙ(L ⊕ ℂ)，其中 L 为固定点分支上的复线丛。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下可将 GKM 理论推广至固定点非孤立的情形？
• RQ2 固定点集与轨道空间的结构如何约束流形的等变上同调？
• RQ3 此类作用中一维轨道闭包的拓扑与几何结构如何？
• RQ4 自旋结构不变量在多大程度上可检测流形是否为固定点分支上的纤维丛？
• RQ5 广义 GKM 同构 H_T(M) ≃ H(Γ, α) ⊗ H(F) 是否可用于具体例子中计算等变上同调？

主要发现

• 所有固定点集 M^T 的连通分支彼此微分同胚，且维数为 2m。
• 每个一维轨道闭包 W_i 是一个维数为 2m+2 的辛子流形，微分同胚于 ℙ(L ⊕ ℂ)，其中 L 为复线丛。
• 一维轨道闭包仅在固定点分支处相交，且每个固定点分支恰好位于 d−m 个此类闭包中。
• 等变上同调环 H_T(M; ℂ) 同构于图上同调 H(Γ, α) 与固定点分支 F 的通常上同调 H(F; ℂ) 的张量积。
• 定义了一个自旋结构同态 Θ: π₁(Γ, F) → Diff(F)（在 Kähler 情形下为 Bihol(F)），若 M 是以 GKM 流形为纤维、以 F 为基的纤维丛，则该同态为零。
• 图 Γ 是一个正则 (d−m)-价带标签图，边标签由 isotropy 权重给出，且标签与环作用相容。