[论文解读] (GL(2n,C),SP(2n,C)) is a Gelfand Pair

Eitan Sayag|ArXiv.org|May 19, 2008

Advanced Algebra and Geometry参考文献 10被引用 6

一句话总结

该论文通过证明任何在 $Sp_{2n}(\bar{C}) \times Sp_{2n}(\bar{C})$ 双作用下不变的 $GL_{2n}(\bar{C})$ 上的分布也关于转置不变，从而证明了 $(GL_{2n}(\bar{C}), Sp_{2n}(\bar{C}))$ 是一个 Gelfand 对。关键结果是：对于 $GL_{2n}(\bar{C})$ 的任意不可约光滑适定 Fréchet 表示 $\pi$，其上关于 $Sp_{2n}(\bar{C})$ 不变的线性泛函空间至多一维，该结果通过分布准则与对称对理论，将已知的 $p$-进结果推广到了阿基米德情形。

ABSTRACT

We prove that (GL_{2n}(C),Sp_{2n}(C)) is a Gelfand pair. More precisely, we show that for an irreducible smooth admissible Frechet representation (π,E) of GL_{2n}(C) the space of continuous functionals Hom_{Sp_{2n}(\cc)}(E,C) is at most one dimensional. For this we show that any distribution on GL_{2n}(C) invariant with respect to the double action Sp_{2n}(C) imes Sp_{2n}(C) is transposition invariant. Such a result was previously proven for p-adic fields by M. Heumos and S. Rallis.

研究动机与目标

• 将已知的 $(GL_{2n}(F), Sp_{2n}(F))$ 在 $p$-进域 $F$ 上为 Gelfand 对的结果，推广到阿基米德情形 $F = \mathbb{C}$。
• 证明对于 $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 的任意不可约光滑适定 Fréchet 表示 $\pi$，空间 $\mathrm{Hom}_{Sp_{2n}(\mathbb{C})}(\pi, \mathbb{C})$ 至多一维。
• 利用 Gelfand-Kazhdan 分布准则，证明 $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上关于 $Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$ 双作用不变的分布也关于转置不变。
• 验证对称对 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 是良性的，且其所有后裔均为正则的，以符合 [AGS] 和 [AG2] 框架的要求。

提出的方法

• 使用 Gelfand-Kazhdan 分布准则，将 Gelfand 对性质归约为证明：所有在 $Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$ 双作用下不变的 $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上的分布也关于转置不变。
• 应用对称对理论，包括后裔与正则性的概念，分析对称对 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 的结构。
• 证明：对于任意在反自同构 $\sigma(g) = J_{2n}^{-1} {}^t g J_{2n}$ 下固定的半单元素 $x \in GL_{2n}(\mathbb{C})$，其中心化子 $G_x$ 可分解为 $GL(V_i, E_i)$ 的乘积，其中 $V_i$ 是 $E_i$-向量空间，且 $E_i = \mathbb{C}[t]/(P_i(t))$。
• 证明 $Sp_{2n}(\mathbb{C})$ 在 $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上的作用诱导出中心化子 $G_x$ 与稳定子 $H_x$ 分解为有限扩张 $E_i$ 上的辛群的乘积。
• 利用 $J: V \to V^*$ 限制到每个 $V_i$ 上为非退化的斜对称形式，使得每个 $V_i$ 成为 $E_i$ 上的辛空间，因此后裔对同构于 $E_i$ 上形如 $(GL(W), Sp(W))$ 的对称对的乘积。
• 借助 [AGS] 与 [AG2] 中关于良性和正则对称对的结果，得出 $Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$-不变分布的转置不变性成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 对称对 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 是否为 Gelfand 对？
• RQ2 所有在 $Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$ 双作用下不变的 $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上的分布是否也关于转置不变？
• RQ3 对称对 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 的所有后裔是否均为正则的，且该对是否为良性的？
• RQ4 Gelfand-Kazhdan 准则是否可在阿基米德情形下应用，以证明 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 的 Gelfand 对性质？
• RQ5 满足 $x = \sigma(x)$ 的半单元素 $x \in GL_{2n}(\mathbb{C})$（其中 $\sigma$ 是与辛形式相关的反自同构）的中心化子结构如何？

主要发现

• 对 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 是 Gelfand 对，即对于 $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 的任意不可约光滑适定 Fréchet 表示 $\pi$，空间 $\mathrm{Hom}_{Sp_{2n}(\mathbb{C})}(\pi, \mathbb{C})$ 至多一维。
• 所有在 $Sp_{2n}(\mathbb{C}) \times Sp_{2n}(\mathbb{C})$ 双作用下不变的 $GL_{2n}(\mathbb{C})$ 上的分布也关于转置不变，这是 Gelfand-Kazhdan 准则中的关键步骤。
• 对称对 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 是良性的，且其所有后裔均为正则的，符合 [AGS] 与 [AG2] 框架的要求。
• 对于满足 $x = \sigma(x)$ 的半单元素 $x \in GL_{2n}(\mathbb{C})$，其中心化子 $G_x$ 可分解为乘积 $\prod_{i=1}^n GL(V_i, E_i)$，其中 $V_i$ 是 $E_i$-向量空间，且 $E_i = \mathbb{C}[t]/(P_i(t))$，$P_i$ 为 $x$ 的极小多项式的不可约因式。
• 稳定子 $H_x = G_x \cap Sp_{2n}(\mathbb{C})$ 可分解为 $\prod_{i=1}^n Sp(V_i, J_i)$，其中 $J_i$ 为辛形式在 $V_i$ 上的限制，使得每个 $V_i$ 成为 $E_i$ 上的辛空间。
• 对称对 $(GL_{2n}(\mathbb{C}), Sp_{2n}(\mathbb{C}))$ 的后裔为有限扩张 $E_i$ 上形如 $(GL(W), Sp(W))$ 的对称对的乘积，且 $\dim_E(W) \leq \dim_{\mathbb{C}}(V)$。