[论文解读] Glass transition of a particle in a random potential, front selection in nonlinear RG and entropic phenomena in Liouville and SinhGordon models

David Carpentier, Pierre Le Doussal|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2000

Theoretical and Computational Physics被引用 5

一句话总结

本文使用非线性重整化群（RG）方法、精确界限和数值分析，研究了在d维高斯随机势中具有对数空间相关性的粒子的玻璃化转变。该研究发现，对于所有d≥1，存在一个有限温度的玻璃转变T=Tc>0，低温相表现出副本对称性破缺，由少数远距离的态主导。该转变具有普遍性，与极值统计、KPP型RG方程以及d=2时的Liouville和sinh-Gordon模型相关联，对狄拉克费米子的局域化及临界波函数的多分形谱具有重要意义。

ABSTRACT

We study via RG, numerics, exact bounds and qualitative arguments the equilibrium Gibbs measure of a particle in a $d$-dimensional gaussian random potential with {\it translationally invariant logarithmic} spatial correlations. We show that for any $d \ge 1$ it exhibits a transition at $T=T_c>0$. The low temperature glass phase has a non trivial structure, being dominated by {\it a few} distant states (with replica symmetry breaking phenomenology). In finite dimension this transition exists only in this ``marginal glass'' case (energy fluctuation exponent $θ=0$) and disappears if correlations grow faster (single ground state dominance $θ>0$) or slower (high temperature phase). The associated extremal statistics problem for correlated energy landscapes exhibits universal features which we describe using a non linear (KPP) RG equation. These include the tails of the distribution of the minimal energy (or free energy) and the finite size corrections which are universal. The glass transition is closely related to Derrida's random energy models. In $d=2$ the glass transition of the particle exhibits interesting similarities with the weak to strong coupling transition in Liouville ($c=1$ barrier) and with a transition that we conjecture for the sinh-Gordon model. Glassy freezing of the particle is associated with the generation under RG of new local operators and of non-smooth configurations in Liouville. Applications to Dirac fermions in random magnetic fields at criticality reveals a peculiar ``quasi-localized'' regime (the glass phase for the particle) where eigenfunctions are concentrated over {\it a finite number} of distant regions, and allows to recover the multifractal spectrum.

研究动机与目标

• 理解在具有对数空间相关性的d维高斯随机势中粒子的平衡统计力学。
• 确定在有限维度中，特别是能量涨落指数θ=0的临界情况下，是否存在有限温度的玻璃转变。
• 建立玻璃转变、非线性RG（KPP方程）与二维中精确可解模型（如Liouville和sinh-Gordon理论）之间的联系。
• 探讨玻璃相对于局域化物理的影响，特别是随机磁场中狄拉克费米子的局域化以及临界波函数的多分形谱。

提出的方法

• 将非线性重整化群（RG）方法应用于控制自由能前驱传播的KPP型方程。
• 利用极值统计和KPP方程描述最小能量分布的尾部及有限尺寸修正。
• 使用精确界限和定性论证分析在无序存在下的吉布斯测度和相结构。
• 通过共形场论和RG分析，将粒子问题映射到d=2时的Liouville和sinh-Gordon模型。
• 对背景势和无序存在下的自由能和粒子局域化进行数值与解析处理。
• 应用副本对称性破缺（RSB）理论描述由少数远距离态主导的低温玻璃相。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有对数空间相关性的粒子-随机势模型中，对于d≥1，是否存在有限温度的玻璃转变？
• RQ2 该玻璃转变如何与非线性KPP RG方程及相关能量景观的极值统计相联系？
• RQ3 玻璃转变与二维Liouville模型中弱耦合到强耦合转变之间有何联系？
• RQ4 sinh-Gordon模型是否能表现出类似的转变，其与粒子玻璃相的关系如何？
• RQ5 玻璃相对于狄拉克费米子局域化及临界波函数多分形谱有何影响？

主要发现

• 在能量涨落指数θ=0的临界情况下，对于所有d≥1，均存在T=Tc>0的有限温度玻璃转变；若θ>0（单个基态）或θ<0（高温相），则该转变不存在。
• 低温玻璃相由少数远距离态主导，表现出副本对称性破缺（RSB）理论特征，其吉布斯测度结构非平凡。
• 玻璃转变由非线性KPP RG方程控制，其前缘速度在β=βc处冻结标志着相变，自由能分布P(f)∼e^{βcf}在f<0时具有普遍尾部。
• 在d=2时，粒子玻璃转变与Liouville理论中的c=1势垒密切相关，并与sinh-Gordon模型中一个猜想的相变相对应，二者在精确结果和RG流上存在对应关系。
• 玻璃相对应于随机磁场中狄拉克费米子的“准局域化”区域，其中本征态集中在有限个远距离区域，且可在扩展相中恢复多分形谱。
• 相图包含三个相：高温相（扩展）、局域相（玻璃）和束缚相（束缚于原点），在多临界点处转变变为连续，且在束缚相边界附近存在交叉-over。