[论文解读] Global Analytic Approach to Super Teichmueller Spaces

Christoph Sachse|ArXiv.org|Feb 19, 2009

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 52被引用 13

一句话总结

本文利用超几何中的范畴论与同调代数方法，构建了超Teichmüller空间的全局解析框架，聚焦于具有π-结构的π-超黎曼曲面。它将超Teichmüller空间 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ 构造为参数化自旋曲线及其奇性形变的半普遍族，表明其维数为 $3g-3|2g-2$，其中奇性方向受自旋丛类刚性性的约束。

ABSTRACT

In this thesis we investigate a new formalism for supergeometry which focuses on the categorical properties of the theory. This approach is our main tool in the subsequent investigation of a global analytic approach to the construction of super Teichmueller spaces. These results should be of importance to various other fields, in particular, superstring theory and superconformal field theory. This new approach, which was actually first proposed by Molotkov and Schwarz and Voronov already in the mid-80s, is based on a consequent use of the functor of points. Apart from clarifying various issues of supergeometry which sometimes remain obscure in the standard (ringed-space) approach, its main achievement is that it makes infinite-dimensional supermanifolds available. We use this to define the supermanifold of all almost complex structures on a given finite-dimensional supermanifold and show that it actually carries a complex structure itself. Moreover we succeed in giving an explicit definition and construction of the diffeomorphism supergroup of a finite-dimensional supermanifold. We then combine these results to show that one can construct a slice for the action of the diffeomorphism supergroup on the subspace of integrable almost complex structures on a smooth closed oriented 2|2-dimensional supersurface. This slice represents a local patch of super Teichmueller space. We also investigate how this construction changes if one instead looks at N=1 superconformal structures on such a surface and show that one obtains an analogous result.

研究动机与目标

• 开发一种基于超几何范畴论与同调工具的超Teichmüller空间全局解析方法。
• 将超Teichmüller空间 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g,d}$ 构造为具有自旋结构的π-超黎曼曲面的半普遍族。
• 阐明超Teichmüller空间相比经典Teichmüller空间缺少 $2g-2$ 个奇性方向的几何与上同调起源。
• 阐释雅可比簇与自旋丛除子类在约束超共形结构形变中的作用。

提出的方法

• 在超流形范畴中采用点函子方法，利用可表示函子与Yoneda嵌入在范畴上定义超几何对象。
• 通过经典Teichmüller空间的底流形 $Ω$ 与Hodge丛的子丛 $π^\prime$，将超流形 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ 构造为更大超Teichmüller空间 $τ_{\mathfrak{vect}^L(1|1)}^{g,g-1}$ 的闭子超流形。
• 对超黎曼曲面上的 $π$-向量场层 $π^L(1|1)$ 应用Čech上同调，将 $H^1(M, π^L(1|1))$ 分解为 $H^0(M,K^2) \oplus \Pi(H^0(M,K^{3/2}))$。
• 利用在 $Λ_1$-点处形变函子的切空间分析无穷小超共形结构及其障碍。
• 依赖Berezin-Leites理论与超共形代数 $π^L(1|1)$ 定义相关超微分结构。
• 应用奇偶性变换函子 $\overline{\Pi}$，并在超流形范畴中构造内Hom-函子，以处理自同构群与群作用。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有π-结构的π-超黎曼曲面的超Teichmüller空间的全局解析结构是什么？
• RQ2 为何超Teichmüller空间相比经典Teichmüller空间缺少 $2g-2$ 个奇性方向？
• RQ3 上同调群 $H^0(M,K^2)$ 与 $H^0(M,K^{3/2})$ 如何贡献于超Teichmüller空间的维数与结构？
• RQ4 雅可比簇与自旋丛除子类在约束超共形结构形变中起什么作用？
• RQ5 在范畴框架中，π-超黎曼曲面族的半普遍性如何实现？

主要发现

• 超Teichmüller空间 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ 的维数为 $3g-3|2g-2$，其中偶部对应经典Teichmüller空间，奇部参数化真正的超形变。
• $2g-2$ 个缺失的奇性方向源于自旋丛类的刚性性，该刚性性阻止了线丛 $L$ 的形变。
• 第一级Čech上同调群 $H^1(M, π^L(1|1))$ 可分解为 $H^0(M,K^2) \oplus \Pi(H^0(M,K^{3/2}))$，直接决定了超Teichmüller空间的奇维数。
• 超Teichmüller空间 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ 是 $τ_{\mathfrak{vect}^L(1|1)}^{g,g-1}$ 的闭子超流形，仅参数化保持自旋丛结构的形变。
• 由 $τ_{\mathfrak{k}^L(1|1)}^{g}$ 参数化的π-超黎曼曲面族是半普遍的，此结论由 [Vai88a] 与 [LR88] 的前期工作确立。
• $J(V_g) \to \mathcal{T}_g$ 的 $2^{2g}$ 个全纯截面的集合 $Ω$ 对应于自旋丛的除子，并构成普通Teichmüller空间 $\mathcal{T}_g$ 的平凡 $2^{2g}$-叶覆盖。