[论文解读] Global and touchdown behaviour of the generalized MEMS device equation

Kin Ming Hui|ArXiv.org|Aug 1, 2008

Advanced MEMS and NEMS Technologies参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文建立了广义微机电系统（MEMS）方程 $u_t = \Delta u + \lambda f(x)/g(u)$ 在有界区域 $\Omega$ 中存在有限拉入电压 $\lambda^*$ 的结论，证明当 $\lambda < \lambda^*$ 时解全局存在，当 $\lambda > \lambda^*$ 时解在有限时间内爆破（触碰）。此外，本文还表明在较弱初始条件下，全局解在 $t \to \infty$ 时收敛于稳态解，并利用能量法与特征函数方法给出了触碰时间的显式上界。

ABSTRACT

We prove the local and global existence of solutions of the generalized micro-electromechanical system (MEMS) equation $u_t =Δu+λf(x)/g(u)$, $u&lt;1$, in $Ω imes (0,\infty)$, $u(x,t)=0$ on $\partialΩ imes (0,\infty)$, $u(x,0)=u_0$ in $Ω$, where $Ω\subset\Bbb{R}^n$ is a bounded domain, $λ&gt;0$ is a constant, $0\le f\in C^α(\overlineΩ)$, $f ot\equiv 0$, for some constant $00$ such that the associated stationary problem has a solution for any $0\leλλ^*$. We obtain comparison theorems for the generalized MEMS equation. Under a mild assumption on the initial value we prove the convergence of global solutions to the solution of the corresponding stationary elliptic equation as $t o\infty$ for any $0\leλ0$ for the solution $u$. That is a time $T&gt;0$ such that $\lim_{t earrow T}\sup_Ωu(\cdot,t)=1$.

研究动机与目标

• 为有界区域 $\Omega$ 中的广义MEMS方程 $u_t = \Delta u + \lambda f(x)/g(u)$ 建立临界拉入电压 $\lambda^*$ 的存在性。
• 在 $f$、$g$ 和初始数据 $u_0 \leq a < 1$ 的一般条件下，证明解的局部与全局存在性。
• 分析全局解的渐近行为，证明当 $\lambda < \lambda^*$ 时，解在 $t \to \infty$ 时收敛于稳态解。
• 推导解在有限时间内触碰的充分条件，即存在 $T < \infty$ 使得 $\lim_{t \nearrow T} \sup_\Omega u(\cdot,t) = 1$。
• 利用能量法与谱理论，提供触碰时间 $T$ 的显式上界。

提出的方法

• 通过上下解技巧与变分法，证明稳态问题 $-\Delta v = \lambda f(x)/g(v)$ 的解存在性与非存在性。
• 利用比较原理与 $L^1$-型函数空间中的不动点论证，建立抛物型MEMS方程解的局部与全局存在性。
• 应用 $-\Delta$ 在 $\Omega$ 上的第一特征函数 $\phi_1$，推导能量型估计与触碰时间的上界。
• 利用函数 $H(u) = \int_0^u g(s)\,ds$ 构造类李雅普诺夫能量泛函，并推导 $\int_\Omega H(u)\phi_1\,dx$ 的微分不等式。
• 通过与满足稳态问题的子解 $\overline{u}_0$ 的比较论证，控制 $u$ 的演化行为。
• 利用第一特征值 $\mu_1$、子区域上 $f$ 的下确界以及 $g(s)$ 在 $[0,1)$ 上的行为，推导触碰时间 $T_\lambda$ 的显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个临界值 $\lambda^* > 0$，使得稳态MEMS问题在 $\lambda < \lambda^*$ 时有解，而在 $\lambda > \lambda^*$ 时无解？
• RQ2 在何种条件下，抛物型MEMS方程的解全局存在或在有限时间内爆破？
• RQ3 当 $\lambda < \lambda^*$ 时，抛物型方程的全局解是否在 $t \to \infty$ 时收敛于稳态解？
• RQ4 当解爆破时，触碰时间 $T_\lambda$ 的有效上界是什么？
• RQ5 当 $g(u)$ 的选择为 $g(u) = (1-u)^p$ 时，解的存在性与行为如何受到影响？

主要发现

• 存在一个临界拉入电压 $\lambda^* > 0$，使得稳态问题在 $0 \leq \lambda < \lambda^*$ 时有解，而在 $\lambda > \lambda^*$ 时无解。
• 当 $\lambda < \lambda^*$ 时，在对 $u_0$ 施加较弱初始条件的情况下，抛物型方程的全局解在 $t \to \infty$ 时收敛于稳态解。
• 若 $u_0 \geq 0$ 且 $\int_{B_R(x_0)} u_0 \phi_R\,dx \geq a_1 < 1$，则对任意 $\lambda > 0$，有 $T_\lambda \leq (1 - a_1)/10$。
• 若 $\lambda > \lambda_R = (\mu_R / \delta_R) \sup_{s \in [0,1]} s g(s)$，则触碰时间满足 $T_\lambda \leq \frac{1}{(\lambda - \lambda_R)\delta_R} \int_{E_1(0)}^1 g(s)\,ds$。
• 若 $\lambda > \mu_1 \frac{\int_0^1 g(s)\,ds}{\int_\Omega f \phi_1\,dx}$，则 $T_\lambda \leq \frac{1}{(\lambda - \lambda')} \frac{\int_\Omega H(u_0)\phi_1\,dx}{\int_\Omega f \phi_1\,dx}$，其中 $\lambda' = \mu_1 \frac{\int_0^1 g(s)\,ds}{\int_\Omega f \phi_1\,dx}$。
• 若 $\lambda > \lambda^*$ 且 $u_0$ 有下界且为稳态问题的子解，则解必在有限时间内触碰，即 $T_\lambda < \infty$。