[论文解读] Global Anomalies and Geometric Engineering of Critical Theories in Six Dimensions

M. Bershadsky, Cumrun Vafa|ArXiv.org|Mar 24, 1997

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 5被引用 50

一句话总结

本文识别了六维 $N=1$ 超共形场论（SCFT）中 $SU(2)$、$SU(3)$ 和 $G_2$ 的全局规范异常，表明它们通过离散的 $\bbZ_{12}$、$\bbZ_6$ 和 $\bbZ_3$ 异常约束物质内容。通过在卡拉比-丘三fold 上进行 F-theory 紧化，作者几何构造了所有已知的具有一个张量 multiplet 的模型，并发现了三个新的无限系列，这些系列在场论中无对应物，全部等价于在 $K3$ 上的 $E_8 \times E_8$ 异规(compactification)在最大 Higgs 相中的瞬子数 $(12+n,12-n)$。

ABSTRACT

We show the existence of global gauge anomalies in six dimensions for gauge groups SU(2),SU(3) and G_2 coupled to matter, characterized by an element of Z_{12},Z_6 and Z_3 respectively. Consideration of this anomaly rules out some of the recently proposed 6 dimensional N=1 QFT's which were conjectured to possess IR fixed point at infinite coupling. We geometrically engineer essentially all the other models with one tensor multiplet using F-theory. In addition we construct 3 infinite series using F-theory geometry which do not have field theory analogs. All these models in the maximally Higgsed phase correspond to the strong coupling behaviour of E_8 x E_8 heterotic string compactification on K3 with instanton numbers (12+n,12-n).

研究动机与目标

• 识别并分类六维 $N=1$ 量子场论中 $SU(2)$、$SU(3)$ 和 $G_2$ 的全局规范异常。
• 确定这些异常如何约束先前猜想在无穷耦合常数下存在的候选六维超共形场论（SCFT）的物质内容。
• 通过在卡拉比-丘三fold 上进行 F-theory 紧化，几何构造所有已知的具有一个张量 multiplet 的六维 SCFT。
• 通过 F-theory 构造新的六维 SCFT 无限系列，这些系列缺乏场论实现，推广了零尺寸瞬子的概念。
• 证明所有此类理论在最大 Higgs 相中，等价于 $E_8 \times E_8$ 异规弦在 $K3$ 上的强耦合极限，其瞬子数为 $(12+n,12-n)$。

提出的方法

• 使用 [6] 中的嵌入方法，将 $G$ 中的全局异常与具有平凡 $ ilde{\pi}_6(G')$ 的更大群 $G'$ 中的局部异常关联，从而通过特征类进行计算。
• 通过由 $Tr(g^{-1}dg)^5 + d\eta$ 构造的五形式 $ ilde{\gamma}_5$ 应用异常流入机制，其在 $S^5$ 上的积分可检测异常相位。
• 利用同伦群 $ ilde{\pi}_6(SU(2)) = \bbZ_{12}$、$ ilde{\pi}_6(SU(3)) = \bbZ_6$ 和 $ ilde{\pi}_6(G_2) = \bbZ_3$ 对可能的全局异常进行分类。
• 构建具有奇点的卡拉比-丘三fold 上的 F-theory 紧化，以实现 SCFT 的规范群和物质内容。
• 利用 7-膜构型和全纯曲线的几何结构，实现 $SU(N)$ 和 $SO(N)$ 规范理论，分别具有 $N_f = 2N$ 和 $N_f = N-8$ 个基础表示。
• 通过 duality 将所得 SCFT 映射到异规 $E_8 \times E_8$ 在 $K3$ 上的紧化，识别出最大 Higgs 相中的瞬子数 $(12+n,12-n)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 $SU(2)$、$SU(3)$ 和 $G_2$ 规范群的六维 $N=1$ 理论中，会出现哪些全局规范异常？它们如何约束物质内容？
• RQ2 先前猜想在无穷耦合常数下存在红外固定点的六维 SCFT 是否可被全局异常排除？
• RQ3 如何通过在卡拉比-丘三fold 上进行 F-theory 紧化来几何构造六维 SCFT，包括那些无场论对应物的理论？
• RQ4 几何构造的 SCFT 与 $E_8 \times E_8$ 异规弦在 $K3$ 上的强耦合极限之间存在何种对偶关系？
• RQ5 通过 F-theory 几何发现的新 SCFT 无限系列是否对应于零尺寸瞬子物理的推广？

主要发现

• 六维 $SU(2)$、$SU(3)$ 和 $G_2$ 的全局异常分别由离散的 $\bbZ_{12}$、$\bbZ_6$ 和 $\bbZ_3$ 相位分类，其来源为非平凡的 $ ilde{\pi}_6(G)$。
• $SU(2)$ 在六维中的异常是 Witten 在四维中异常的推广，通过在 $S^5$ 上积分五形式 $ ilde{\gamma}_5$ 计算，得到相位 $\exp(2\pi i A_R / n!)$。
• 在卡拉比-丘三fold 上的 F-theory 紧化实现了所有已知的具有一个张量 multiplet 的六维 SCFT，包括具有 $SU(N)$ 和 $SO(N)$ 规范群及特定物质内容的理论。
• 通过 F-theory 几何构造了三个新的六维 SCFT 无限系列，这些系列在场论中无对应物，对应于广义的零尺寸瞬子物理。
• 所有几何构造的 SCFT 在其最大 Higgs 相中，等价于 $E_8 \times E_8$ 异规弦在 $K3$ 上的强耦合极限，其瞬子数为 $(12+n,12-n)$，其中 $1 \leq n \leq 12$。
• $SO(N)$ 系列具有 $N-8$ 个基础表示，$SU(N)$ 系列具有 $2N$ 个基础表示，分别通过在 $T^*\bbP^1$ 和 $T^*\bbP^1/\bbZ_2$ 上的 D-brane 构型实现，异常抵消要求 $N_f = 2N$ 和 $N_f = N-8$。